Giải bài 3 trang 48 Toán 10 Tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Xét dấu mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 3x² – 4x + 1;

b) f(x) = 9x² + 6x + 1; 

c) f(x) = 2x² – 3x + 10; 

d) f(x) = –5x² + 2x + 3;

e) f(x) = –4x² + 8x – 4; 

g) f(x) = –3x² + 3x – 1. 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để xét dấu tam thức bậc hai $f(x)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính biệt thức $\Delta$ (hoặc $\Delta'$) để xác định số nghiệm.

2. Tìm nghiệm (nếu có).

3. Áp dụng quy tắc xét dấu:

   • Trường hợp $\Delta < 0$: $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

   • Trường hợp $\Delta = 0$: $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \neq x_0$ (nghiệm kép). $f(x_0) = 0$.

   • Trường hợp $\Delta > 0$: $f(x)$ cùng dấu với $a$ khi $x$ nằm ngoài khoảng hai nghiệm, và trái dấu với $a$ khi $x$ nằm trong khoảng hai nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) f(x) = 3x² – 4x + 1

Tam thức bậc hai f(x) = 3x² – 4x + 1 có ∆ = (–4)² – 4 . 3 . 1 = 4 > 0.

Nên tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1/3 và x₂ = 1.

Mà hệ số a = 3 > 0.

Vậy f(x) > 0 với mọi x thuộc các khoảng  và (1; +∞)

và f(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng

b) f(x) = 9x² + 6x + 1

Tam thức bậc hai f(x) = 9x² + 6x + 1 có ∆ = 6² – 4 . 9 . 1 = 0.

Nên tam thức f(x) có nghiệm kép là x₀ = -1/3

Mà hệ số a = 9 > 0.

Vậy f(x) > 0 với mọi 

c) f(x) = 2x² – 3x + 10 

Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 3x + 10 có ∆ = (–3)² – 4 . 2 . 10 = – 71 < 0

Mà hệ số a = 2 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x ∈ R

d) f(x) = –5x² + 2x + 3

Tam thức bậc hai f(x) = – 5x² + 2x + 3 có ∆ = 2² – 4.(–5).3 = 64 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = -3/5 và x₂ = 1.

Lại có hệ số a = – 5 < 0.

Vậy f(x) < 0 với mọi x thuộc các khoảng  và (1; +∞);

và f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng

e) f(x) = –4x² + 8x – 4 

Tam thức bậc hai f(x) = – 4x² + 8x – 4 có ∆ = 8² – 4.(–4).(–4) = 0.

Nên tam thức f(x) có nghiệm kép x₀ = 1.

Mà hệ số a = –4 < 0.

Vậy f(x) < 0 với mọi

g) f(x) = –3x² + 3x – 1 

Tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 3x – 1 có ∆ = 3² – 4 . (– 3) . (– 1) = – 3 < 0

Mà hệ số a = –3 < 0 nên f(x) < 0 với mọi x ∈ R