Bài 8.5 trang 71 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Biến cố phụ thuộc

Bài 8.5 trang 71 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Có hai chuồng nuôi gà. Chuồng I có 9 con gà mái và 3 con gà trống. Chuồng II có 3 con gà mái và 6 con gà trống. Bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng I để đem bán rồi dồn các con gà còn lại của chuồng I vào chuồng II. Sau đó bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng II. Xét hai biến cố sau:

E: “Bắt được con gà trống từ chuồng I”;

F: “Bắt được con gà mái từ chuồng II”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố E và F không độc lập.

Phân tích lý thuyết

Hai biến cố$E$ và $F$ được gọi là không độc lập (hay biến cố phụ thuộc) nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố $E$ làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố $F$.

Trong bài toán này, vì gà từ chuồng I được dồn vào chuồng II, nên thành phần gà ở chuồng II sẽ thay đổi tùy thuộc vào việc con gà bị bắt từ chuồng I là gà trống hay gà mái.

Giải bài 8.5 trang 71 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Để chứng minh $E$ và $F$ không độc lập, ta so sánh xác suất của $F$ trong hai trường hợp của $E$:

1. Nếu biến cố E xảy ra (Bắt được gà trống từ chuồng I)

• Số gà còn lại ở chuồng I sau khi bán 1 con gà trống là: 9 mái và 2 trống.

• Dồn số gà này vào chuồng II (đang có 3 mái, 6 trống).

• Thành phần chuồng II lúc này:

  • Số gà mái: $3 + 9 = 12$ con.

  • Số gà trống: $6 + 2 = 8$ con.

  • Tổng số gà: $12 + 8 = 20$ con.

• Xác suất bắt được gà mái từ chuồng II là:

  $$P(F) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6$$

2. Nếu biến cố E không xảy ra (Bắt được gà mái từ chuồng I)

• Số gà còn lại ở chuồng I sau khi bán 1 con gà mái là: 8 mái và 3 trống.

• Dồn số gà này vào chuồng II (đang có 3 mái, 6 trống).

• Thành phần chuồng II lúc này:

  • Số gà mái: $3 + 8 = 11$ con.

  • Số gà trống: $6 + 3 = 9$ con.

  • Tổng số gà: $11 + 9 = 20$ con.

• Xác suất bắt được gà mái từ chuồng II là:

  $$P(F) = \frac{11}{20} = 0,55$$

3. Kết luận

Ta thấy: $0,6 \neq 0,55$.

Xác suất của biến cố $F$ đã bị thay đổi tùy thuộc vào việc biến cố $E$ có xảy ra hay không.

Vậy $E$ và $F$ là hai biến cố không độc lập (biến cố phụ thuộc).

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Biến cố phụ thuộc: Xác suất của biến cố sau bị ảnh hưởng bởi kết quả của biến cố trước.

• Dấu hiệu: Có sự di chuyển, dồn hoặc thay đổi số lượng phần tử từ nhóm này sang nhóm khác giữa các lần thực hiện phép thử.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Quên trừ đi con gà đã bán: Khi dồn gà từ chuồng I sang chuồng II, nhiều bạn quên mất là chuồng I chỉ còn 11 con (vì đã bán mất 1 con).

2. Nhầm lẫn số lượng gà trống/mái: Cần đọc kỹ biến cố $E$ là bắt gà trống hay gà mái để thực hiện phép cộng dồn chính xác vào chuồng II.

3. Không kết luận rõ ràng: Sau khi tính ra hai xác suất khác nhau, cần khẳng định sự khác nhau đó dẫn đến tính chất không độc lập.

Mẹo ghi nhớ nhanh

Bất cứ khi nào bạn thấy có hành động "lấy từ túi này bỏ sang túi kia" hoặc "không trả lại", hãy nghĩ ngay đến biến cố phụ thuộc. Chỉ khi các hành động hoàn toàn tách biệt và không làm thay đổi "nguồn" của nhau thì mới là biến cố độc lập.