Bài 8.2 trang 71 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh biến cố hợp

Bài 8.2 trang 71 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau:

E: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn”;

F: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẻ”;

K: “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn”.

Chứng minh K là biến cố hợp của E và F.

Phân tích lý thuyết

Để chứng minh biến cố $K$ là hợp của hai biến cố $E$ và $F$ ($K = E \cup F$), chúng ta có thể sử dụng hai cách:

1. Cách tập hợp: Liệt kê tất cả các phần tử của $E$, $F$ và $K$, sau đó chỉ ra rằng tập hợp $K$ chính bằng hợp của hai tập hợp $E$ và $F$.

2. Cách lập luận logic: Chứng minh rằng $K$ xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố $E$ hoặc $F$ xảy ra.

Giả bài 8.2 trang 71 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cách 1: Sử dụng phương pháp liệt kê

Không gian mẫu: $\Omega = \{(x; y) \mid 1 \le x \le 6; 1 \le y \le 6\}$. Tổng cộng có $6 \times 6 = 36$ kết quả.

• Biến cố E (Cả hai đều chẵn):

  $E = \{(2; 2); (2; 4); (2; 6); (4; 2); (4; 4); (4; 6); (6; 2); (6; 4); (6; 6)\}$. (9 phần tử)

• Biến cố F (Khác tính chẵn lẻ - Một chẵn một lẻ):

  $F = \{(1; 2); (1; 4); (1; 6); (2; 1); (2; 3); (2; 5); (3; 2); (3; 4); (3; 6); (4; 1); (4; 3); (4; 5); (5; 2); (5; 4); (5; 6); (6; 1); (6; 3); (6; 5)\}$. (18 phần tử)

• Hợp của E và F ($E \cup F$):

  Tập hợp này gồm các cặp có ít nhất một số chẵn (bao gồm cả hai chẵn hoặc một chẵn một lẻ). Số phần tử là $9 + 18 = 27$.

• Biến cố K (Tích là số chẵn):

  Tích hai số là số chẵn khi và chỉ khi ít nhất một trong hai số là số chẵn. Các trường hợp này bao gồm:

  • Cả hai số đều chẵn (Trùng với tập $E$).

  • Một số chẵn và một số lẻ (Trùng với tập $F$).

    Liệt kê tập $K$, ta thấy các phần tử hoàn toàn trùng khớp với tập $E \cup F$.

Vậy $K = E \cup F$ (đpcm).

Cách 2: Sử dụng lập luận logic

Chúng ta có thể chứng minh hai chiều:

1. Nếu $E$ hoặc $F$ xảy ra: Trong cả hai trường hợp này, kết quả gieo đều có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt chẵn. Theo quy tắc nhân số học: Chẵn $\times$ Chẵn = Chẵn và Chẵn $\times$ Lẻ = Chẵn. Do đó, tích số chấm chắc chắn là số chẵn, tức là $K$ xảy ra.

2. Ngược lại, nếu $K$ xảy ra: Tích là chẵn thì trong hai số chấm phải có ít nhất một số chẵn.

   • Nếu cả hai số đều chẵn: Biến cố $E$ xảy ra.

   • Nếu một số chẵn và một số lẻ: Biến cố $F$ xảy ra.

     Như vậy, nếu $K$ xảy ra thì hoặc $E$ xảy ra hoặc $F$ xảy ra (ít nhất một trong hai).

Kết luận: $K$ là biến cố hợp của $E$ và $F$.

Tổng kết kiến thức

• Biến cố hợp ($A \cup B$): Là biến cố xảy ra khi có "ít nhất một trong hai" biến cố thành phần xảy ra.

• Tính chẵn lẻ của tích: Tích hai số tự nhiên là số lẻ chỉ khi cả hai số đều lẻ. Trong tất cả các trường hợp còn lại, tích sẽ là số chẵn.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Liệt kê thiếu phần tử: Khi liệt kê biến cố $F$, nhiều bạn quên tính chất hoán vị, ví dụ có $(1; 2)$ nhưng quên $(2; 1)$.

2. Nhầm lẫn điều kiện tích chẵn: Một số bạn cho rằng tích chẵn chỉ khi cả hai cùng chẵn, dẫn đến thiếu trường hợp một chẵn một lẻ.

3. Lập luận chưa chặt chẽ: Khi dùng cách lập luận logic, cần chứng minh đủ cả hai chiều để kết luận hai biến cố là tương đương.