Giải bài 3.5 trang 55 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để chứng minh một hình thang là hình thang cân, ta có thể chứng minh nó có hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc hai đường chéo bằng nhau. Trong bài toán này, cách hiệu quả nhất là chứng minh hai đường chéo bằng nhau ($AC=BD$).

1. Sử dụng tam giác vuông: Xét hai tam giác vuông ΔCOE và ΔDOE. Áp dụng trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh chúng bằng nhau.

2. Suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau: Từ việc hai tam giác vuông bằng nhau, ta suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau, đặc biệt là OC = OD.

3. Sử dụng tính chất hình thang: Vì ABCD là hình thang, AB // CD. Điều này dẫn đến các cặp góc so le trong bằng nhau.

4. Kết luận: Dựa trên các cạnh bằng nhau đã chứng minh, ta kết luận AC = BD, từ đó suy ra hình thang ABCD là hình thang cân.

Lời giải chi tiết:

Gọi O là giao điểm của AC và BD như hình minh hoạ sau:

Xét ∆DOE và ∆COE có:

Vì OD ⊥ DE; OC ⊥ CE nên 

EC = ED (giả thiết);

Cạnh OE chung

⇒ ∆DOE = ∆COE (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ OC = OD (hai cạnh tương ứng) (*)

Vì vậy, ∆OCD cân tại O 

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD

 (cặp góc so le trong).

 (vì )

⇒ ∆OAB cân tại O nên OA = OB (**)

Lại có: AC = OA + OC và BD = OB + OD (***)

Từ (*), (**) và (***) ⇒ AC = BD

Vậy hình thang ABCD có AC = BD nên ABCD là hình thang cân.