Giải bài 3.45 trang 75 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C. Gọi E, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống AC, còn N, D lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B xuống MEvà từ M xuống AB (H.3.60).

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật.

b) BK bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và đến AB (dù M thay đổi trên đường thẳng BC miễn là B nằm giữa M và C) tức là BK = ME – MD.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện một chuỗi các bước chứng minh logic:

• Phần a: Chứng minh tứ giác $BKEN$ là hình chữ nhật. Dựa vào giả thiết về các đường vuông góc, ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng tứ giác này có ba góc vuông.

• Phần b: Chứng minh $BK=ME-MD$. Để làm được điều này, ta sẽ sử dụng các mối quan hệ về cạnh và góc đã biết.

  1. Dựa vào kết quả ở phần a, ta có $NE=BK$.

  2. Ta cần chứng minh $MD=MN$. Điều này có thể thực hiện bằng cách chứng minh hai tam giác vuông có chung cạnh huyền $BM$ bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn.

  3. Từ đó, ta có thể thiết lập mối quan hệ: $ME=MN+NE=MD+BK$.

Lời giải chi tiết:

a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật.

Vì ME ⊥ AC; BK ⊥ AC; BN ⊥ ME nên

Tứ giác BKEN có    

⇒ Tứ giác BKEN là hình chữ nhật.

b) BK bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và đến AB

Khoảng cách từ M đến AC và AB lần lượt là ME và MD.

Tứ giác BKEN là hình chữ nhật nên NE = BK (*)

Ta có BN ⊥ ME; CE ⊥ ME nên BN // EC

 (hai góc đồng vị)

Mà  (vì ∆ABC cân tại A)

 (hai góc đối đỉnh)

• Xét ∆MBN và ∆MBD có:

Cạnh BM chung

 (chứng minh trên)

⇒ ∆MBN = ∆MBD (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ MN = MD (hai cạnh tương ứng) (**)

Từ (*) và (**) ta có: ME = MN + NE = MD + BK.

⇒ BK = NE = ME – BD.