Giải bài 3.31 trang 72 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để chứng minh một tứ giác là hình thoi, cách đơn giản nhất là chứng minh nó có bốn cạnh bằng nhau.

1. Vẽ hình: Vẽ một hình chữ nhật ABCD và các trung điểm E, F, G, H của các cạnh. Nối các trung điểm này để tạo thành tứ giác EFGH.

2. Sử dụng tính chất hình chữ nhật: Hình chữ nhật có các góc vuông và các cạnh đối bằng nhau.

3. Sử dụng định nghĩa trung điểm: Trung điểm chia một cạnh thành hai đoạn bằng nhau.

4. Chứng minh các tam giác bằng nhau: Xét các tam giác vuông ở các góc của hình chữ nhật. Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác (cạnh - góc - cạnh) để chứng minh các cạnh của tứ giác EFGH bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta giả sử có hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA như sau:

Ta cần chứng minh EFGH là hình thoi.

Thật vậy: Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC.

H là trung điểm của AD nên: 

F là trung điểm của BC nên: 

⇒ AH = DH = BF = CF.

• Xét ΔAHE và ΔBFE có:

AE = BE (do E là trung điểm của AB);

AH = BF (chứng minh trên).

⇒ ΔAHE = ΔBFE (hai cạnh góc vuông)

⇒ HE = FE (hai cạnh tương ứng).

Tương tự, ta cũng có:

• ΔBEF = ΔCGF (hai cạnh góc vuông)

⇒ EF = GF (hai cạnh tương ứng).

• ΔCGF = ΔDGH (hai cạnh góc vuông),

⇒ GF = GH (hai cạnh tương ứng).

Vậy ta có: EF = FG = GH = HE

Do đó tứ giác EFHG là hình thoi.