Giải bài 2.30 trang 57 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Tìm ba số, biết theo thứ tự chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho chúng ta hai điều kiện:

1. Ba số cần tìm, gọi là $x,y,z$, lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21.

2. Nếu lần lượt cộng thêm các số 2, 3, 9 vào ba số đó, ta được một cấp số nhân.

Để giải bài toán này, các em sẽ thực hiện các bước sau:

• Sử dụng tính chất cấp số cộng: Với ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, số hạng ở giữa là trung bình cộng của hai số hạng còn lại. Điều này giúp chúng ta tìm được số hạng ở giữa ($y$).

• Biểu diễn các số theo một biến: Sau khi tìm được $y$, ta có thể biểu diễn $x$ và $z$ theo $y$ và công sai $d$.

• Sử dụng tính chất cấp số nhân: Ba số sau khi cộng thêm lập thành một cấp số nhân. Ta sẽ áp dụng tính chất: bình phương của số hạng ở giữa bằng tích của hai số hạng kề bên. Điều này sẽ cho ta một phương trình để tìm công sai $d$.

• Tìm các số: Sau khi tìm được $d$, ta sẽ tìm được ba số ban đầu.

Lời giải chi tiết:

- Giả sử 3 số cần tìm là x, y, z với x < y < z.

- Ta có: x + y + z = 21 ⇒ x + z = 21 – y.

Theo Bài 2.29a, vì x, y, z lập thành một cấp số cộng nên 

- Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x = y – d = 7 – d và z = y + d = 7 + d.

Sau khi thêm các số 2; 3; 9 vào ba số x, y, z ta được ba số là x + 2, y + 3, z + 9 hay 9 – d, 10, 16 + d.

Mà theo bài ra, thì 3 số này lập thành một cấp số nhân.

Áp dụng Bài 2.29b, ta có: (9 – d)(16 + d) = 10²

⇔ 144 – 7d – d² = 100

⇔ d² + 7d – 44 = 0

Giải phương trình bậc hai trên ta được d = –11 hoặc d = 4.

• Với d = –11, ta có cấp số cộng gồm 3 số 18, 7, –4.

• Với d = 4, ta có cấp số cộng gồm 3 số 3, 7, 11.

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là (18, 7, –4) và (3, 7, 11).