Giải bài 2.22 trang 56 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới.

B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên.

C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.

D. Một dãy số không đổi thì bị chặn.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài đưa ra bốn khẳng định về các tính chất của dãy số và yêu cầu xác định khẳng định nào là sai. Để làm được điều này, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa của các khái niệm:

1. Dãy số tăng/giảm (đơn điệu): Dãy số tăng nếu u_n+1​>u_n​ và giảm nếu u_n+1​<u_n​.

2. Dãy số bị chặn dưới: Tồn tại một số $m$ sao cho u_n​≥m với mọi $n$.

3. Dãy số bị chặn trên: Tồn tại một số $M$ sao cho u_n​≤M với mọi $n$.

4. Dãy số bị chặn: Vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

Chúng ta sẽ phân tích từng khẳng định để xem nó có đúng với định nghĩa và các trường hợp đặc biệt hay không.

Lời giải chi tiết:

Đáp án: C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.

Vì, ta có:

- Mỗi dãy số tăng đều bị chặn dưới bởi số hạng đầu u₁ vì u₁ < u₂ < u₃ < ...., do đó đáp án A đúng.

- Mỗi dãy số giảm đều bị chặn trên bởi số hạng đầu u₁ vì u₁ > u₂ > u₃ > ...., do đó đáp án B đúng.

- Một dãy số bị chặn không nhất thiết phải là dãy số tăng hoặc giảm. Chẳng hạn ta xét dãy số (u_n) có số hạng tổng quát:

Ta thấy dãy số này đan dấu nên nó không tăng, không giảm.

Mặt khác ta có:

⇒ Dãy số (u_n) bị chặn.

⇒ Đáp án C sai.

- Đáp án D đúng do dãy số (u_n) không đổi thì mọi số hạng luôn bằng nhau và luôn tồn tại m, M để m ≤ u_n ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.