Giải bài 3.15 trang 69 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Một bảng xếp hạng đã tính điểm chuẩn hóa cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở Việt Nam và thu được kết quả sau:

Xác định điểm ngưỡng để đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để xác định điểm ngưỡng cho 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất, chúng ta cần tìm tứ phân vị thứ ba (Q₃​). Q₃​ là giá trị chia mẫu số liệu thành hai phần, với 75% số liệu nằm dưới nó và 25% số liệu nằm trên nó.

Để tìm Q3​ của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính cỡ mẫu (n): Cộng tất cả các tần số lại.

2. Xác định vị trí của Q₃​: Vị trí của Q₃​ là giá trị thứ 3n/4​ trong mẫu số liệu đã được sắp xếp.

3. Tìm nhóm chứa Q₃​: Dựa vào tần số tích lũy, ta tìm nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng vị trí của Q₃​.

4. Áp dụng công thức: Sử dụng công thức tính tứ phân vị: $Q_3 = L + \frac{\frac{3n}{4} - \sum_{i=1}^{p-1} n_i}{n_p} \cdot h$.

Lời giải chi tiết:

Cỡ mẫu là n = 4 + 19 + 6 + 2 + 3 + 1 = 35.

Gọi x₁, x₂, ..., x₃₅ là điểm chuẩn hóa cho chỉ số nghiên cứu của các trường đại học và giả sử dãy này đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là M_e = x₁₈ và tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu số liệu là trung vị của nửa số liệu bên phải M_e, đó là dãy gồm 17 số liệu x₁₉, x₂₀, ..., x₃₅, do đó Q₃ = x₂₇.

Vì x₂₇ thuộc nhóm [30; 40) nên nhóm này chứa Q₃.

Do đó, p = 3; a₃ = 30; m₃ = 6; m₁ + m₂ = 4 + 19 = 23; a₄ – a₃ = 40 – 30 = 10

Và ta có: 

25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất là 25% giá trị nằm bên phải Q₃.

Vậy điểm ngưỡng để đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là những trường có điểm chuẩn hóa lớn hơn hoặc bằng 35,42.