Bài 2.5 trang 58 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 2.5 trang 58 Toán 12:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$. Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ $\overrightarrow{a},\: \overrightarrow{b},\: \overrightarrow{c}$

a) $\overrightarrow{AB'}$

b) $\overrightarrow{B'C}$

c) $\overrightarrow{BC'}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để biểu diễn một vectơ qua các vectơ đã biết, chúng ta sẽ sử dụng các quy tắc cơ bản của vectơ:

• Quy tắc ba điểm: $\vec{XY} = \vec{XZ} + \vec{ZY}$. Quy tắc này giúp chúng ta phân tích một vectơ thành tổng của hai vectơ.

• Quy tắc trừ vectơ: $\vec{XY} - \vec{XZ} = \vec{ZY}$. Quy tắc này giúp chúng ta trừ hai vectơ có chung điểm đầu.

• Tính chất của hình lăng trụ: Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành. Điều này có nghĩa là các cặp vectơ của các cạnh đối là bằng nhau. $\vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'}$.

Chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc này để biểu diễn từng vectơ theo $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

a) Vì A’ABB’ là hình bình hành nên 

$\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

b) Vì A’ABB’ là hình bình hành nên

$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{a}$

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

Vì C’CBB’ là hình bình hành nên

$\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{B'B}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$

c) Vì C’CBB’ là hình bình hành nên 

$\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB'}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}$