Hotline0936685849

Bài 2.11 trang 59 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

13:29:12Cập nhật: 06/10/2025

Chào các em! Bài viết này sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết Bài tập 2.11 trang 59 SGK Toán 12 thuộc bộ sách Kết nối tri thức tập 1. Bài toán này giúp chúng ta ôn tập các phép toán cơ bản với tích vô hướng của hai vectơ, một kiến thức quan trọng trong hình học không gian.

Đề bài:

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng có độ dài bằng 1. Biết rằng góc nằm giữa hai vectơ đó là 45^o, hãy tính:

a) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

b) $(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$

a) $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, các em cần nhớ các công thức sau:

Định nghĩa tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$.
Bình phương vô hướng: $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$.
Tính chất phân phối: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

$= 1.1.cos45^o=\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$

Ta có: $(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$ $=\overrightarrow{a}^2+3\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-6\overrightarrow{b}^2$

$=\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-6\overrightarrow{b}^2$

$=1+\frac{\sqrt{2}}{2}+6.1=-5+\frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2$

Ta có: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$

$=1+2.\frac{\sqrt{2}}{2}+1=2+\sqrt{2}$

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện các phép toán cơ bản với tích vô hướng của hai vectơ. Nắm vững các công thức này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong hình học không gian.

• Xem thêm:

Bài 2.9 trang 59 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba...

Bài 2.10 trang 59 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng...

Bài 2.12 trang 59 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}$ $=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}$ $+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}$ ...