Giải bài 4.13 trang 82 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SD (H.4.28).

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MAB) và (SCD).

b) Gọi N là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (MAB). Chứng minh rằng MN là đường trung bình của tam giác SCD.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, ta sẽ áp dụng các định lý và phương pháp sau:

• Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng. Để xác định đường thẳng đó, ta cần tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng hoặc tìm một điểm chung và chỉ ra rằng giao tuyến đó song song với một đường thẳng đã biết.

• Chứng minh đường trung bình: Một đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác nếu nó đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ ba. Chúng ta sẽ thực hiện từng bước để giải quyết bài toán.

Lời giải chi tiết:

Từ M kẻ đường thẳng m song song AB cắt SC tại N như hình sau:

a) Vì M thuộc SD nằm trong mặt phẳng (SCD) nên M thuộc mặt phẳng (SCD).

Mà M thuộc mặt phẳng (MAB) nên M là điểm chung của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD).

Lại có hai mặt phẳng (MAB) và (SCD) chứa hai đường thẳng song song AB và CD.

⇒ Giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD) là đường thẳng m đi qua M và song song với AB, CD.

b) Trong tam giác SCD, đường thẳng m đi qua điểm M và song song với CD cắt cạnh SC tại một điểm N.

Vì N thuộc m và m nằm trong mặt phẳng (MAB) nên N thuộc mặt phẳng (MAB).

Vậy N là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (MAB).

Xét ΔSCD có M là trung điểm của SD, MN // CD và N thuộc SC nên đường thẳng MN là đường trung bình của ΔSCD.