Giải bài 4.9 trang 82 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu a và b không cắt nhau thì a và b song song.

b) Nếu b và c chéo nhau thì b và c không cùng thuộc một mặt phẳng.

c) Nếu a và b cùng song song với c thì a song song với b.

d) Nếu a và b cắt nhau, b và c cắt nhau thì a và c cắt nhau.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để xác định tính đúng sai của các mệnh đề, các em cần nắm vững các khái niệm và vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:

• Cắt nhau: Hai đường thẳng có một điểm chung.

• Song song: Hai đường thẳng không có điểm chung và cùng nằm trên một mặt phẳng.

• Chéo nhau: Hai đường thẳng không có điểm chung và không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Một mẹo nhỏ là hãy thử tìm các ví dụ phản chứng (ví dụ chứng minh mệnh đề sai) cho mỗi phát biểu.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào các định nghĩa và tính chất của các đường thẳng trong không gian, ta xét từng mệnh đề:

• a) "Nếu a và b không cắt nhau thì a và b song song." Mệnh đề này là sai. Giải thích: Nếu hai đường thẳng $a$ và $b$ không cắt nhau, chúng có thể song song hoặc chéo nhau. Ví dụ, trong một hình lập phương, hai cạnh đối diện của các mặt khác nhau (không song song) thì chéo nhau.

• b) "Nếu b và c chéo nhau thì b và c không cùng thuộc một mặt phẳng." Mệnh đề này là đúng. Giải thích: Theo định nghĩa, hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không có điểm chung và không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng đó.

• c) "Nếu a và b cùng song song với c thì a song song với b." Mệnh đề này là sai. Giải thích: Nếu $a$ và $b$ cùng song song với $c$, chúng có thể song song với nhau, nhưng cũng có thể trùng nhau (khi $a$ và $b$ là một). Để mệnh đề này đúng, cần thêm điều kiện $a$ và $b$ phân biệt.

• d) "Nếu a và b cắt nhau, b và c cắt nhau thì a và c cắt nhau." Mệnh đề này là sai. Giải thích: Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau, $a$ và $c$ có thể cắt nhau, nhưng cũng có thể song song hoặc chéo nhau. Ví dụ, trong một hình hộp, đường thẳng $a$ và $c$ có thể chéo nhau mặc dù cả hai đều cắt đường thẳng $b$.