Giải bài 4.11 trang 82 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD (H.4.27). Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, ta có thể áp dụng một trong các dấu hiệu nhận biết sau:

• Tứ giác có các cặp cạnh đối song song.

• Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau.

• Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

• Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Trong bài toán này, các điểm $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $SA,SB,SC,SD$. Đây là dấu hiệu để chúng ta sử dụng đường trung bình của tam giác. Ta sẽ chứng minh tứ giác $MNPQ$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét ΔSAB có M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB,

⇒ MN // AB và 

Tương tự, ta có PQ là đường trung bình của ΔSCD

⇒ PQ // CD và

Lại có đáy ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.

Khi đó, MN // PQ và MN = PQ.

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.