Giải bài 3.7 trang 67 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được bảng số liệu ở bên.

a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ.

b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính số trung bình: Để so sánh thời gian ngủ trung bình, ta sẽ tính số trung bình của mỗi nhóm nam và nữ bằng cách sử dụng giá trị đại diện và tần số của mỗi nhóm.

   Công thức: $\overline{x}\approx \frac{\sum m_in_i}{n}$.

2. Tìm tứ phân vị: Để biết 75% học sinh ngủ ít nhất bao nhiêu giờ, chúng ta cần tìm tứ phân vị thứ nhất (Q_1​) của mẫu số liệu tổng hợp. Q₁​ là giá trị chia mẫu số liệu thành hai phần, với 25% số liệu nằm dưới nó và 75% số liệu nằm trên nó.

   Công thức: 

Lời giải chi tiết:

a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ.

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số các bạn nam là: n₁ = 6 + 10 + 13 + 9 + 7 = 45.

Thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam là:

Tổng số các bạn nữ là n₂ = 4 + 8 + 10 + 11 + 8 = 41.

Thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nữ là:

Vì 6,52 < 6,77 nên thời gian ngủ trung bình của các học sinh nam ít hơn các học sinh nữ.

b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?

Ta có:

Tổng số học sinh khối 11 được khảo sát là n = 45 + 41 = 86.

Gọi x₁, x₂, x₃, ..., x₈₆ là thời gian ngủ của các học sinh khối 11 được khảo sát và giả sử dãy này đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó trung vị của mẫu số liệu là: 

Vì tứ phân vị thứ nhất Q₁ là x₂₂.

Mà x₂₂ thuộc nhóm [5; 6) nên nhóm này chứa Q₁.

Do đó, p = 2; a₂ = 5; m₂ = 18; m₁ = 10; a₃ – a₂ = 6 – 5 = 1

và ta có: 

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ chia mẫu số liệu thành 2 phần, phần dưới chiếm 25% số liệu của mẫu và phần trên chiếm 75% số liệu của mẫu.

Vậy 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất 5,64 giờ.