Giải bài 3.6 trang 67 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí sinh được cho trong bảng sau:

a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2.

b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Hiệu chỉnh dữ liệu: Vì điểm được làm tròn đến 1, các điểm như 9,5; 19,5... là các ranh giới tự nhiên để tạo thành các nhóm.

2. Tìm tứ phân vị: Các tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ là các giá trị chia mẫu số liệu thành bốn phần bằng nhau.

   • Q₁ là trung vị của nửa đầu mẫu số liệu.

   • Q₂ (trung vị) là giá trị chia mẫu số liệu thành hai nửa.

   • Q₃ là trung vị của nửa sau mẫu số liệu.

   • Để tính các tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm, ta sử dụng công thức: $Q_k = a + (\frac{\frac{k \cdot n}{4} - \sum_{i=1}^{p-1} m_i}{m_p}) \cdot h$.

3. Giải thích ý nghĩa: Giải thích các giá trị Q₁, Q₂, Q₃ cho chúng ta biết điều gì về sự phân bố của dữ liệu.

Lời giải chi tiết:

a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2

Ta được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.

Cỡ mẫu là n = 60.

Gọi x₁, x₂, ..., x₆₀ là điểm thi môn Toán của 60 thí sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là: 

Vì hai giá trị x₃₀, x₃₁ thuộc nhóm [49,5; 59,5) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó, p = 6; a₆ = 49,5; m₆ = 12;

m₁ + m₂ + m₃ + m₄ + m₅ = 1 + 2 + 4 + 6 + 15 = 28;

a₇ – a₆ = 59,5 – 49,5 = 10

và ta có: 

• Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là:

Vì x₁₅ và x₁₆ đều thuộc nhóm [39,5; 49,5) nên nhóm này chứa Q₁.

Do đó, p = 5; a₅ = 39,5; m₅ = 15;

m₁ + m₂ + m₃ + m₄ = 13; a₆ – a₅ = 10

và ta có: 

• Tứ phân vị thứ ba Q₃ là:

Vì x₄₅ và x₄₆ đều thuộc nhóm [59,5; 69,5) nên nhóm này chứa Q₃.

Do đó, p = 7; a₇ = 59,5; m₇ = 10;

m₁ + m₂ + m₃ + m₄ + m₅ + m₆ = 40; a₆ – a₅ = 10

và ta có:

• Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e ≈ 51,17.

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu là Q₁ ≈ 40,83; Q₂ ≈ 51,17 và Q₃ = 64,5. Các giá trị này các là ngưỡng để phân điểm của 60 học sinh thành 4 phần để xếp loại học sinh.