Bài 4.12 trang 78 Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình thang ABCD (AD // BC) có AD = 16 cm, BC = 4 cm, 

a) Kẻ đường cao CE của tam giác ACD. Chứng minh . Tính sin của các góc ,  và suy ra AC² = AE. AD. Từ đó tính AC

b) Tính góc D của hình thang.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

• Câu a):

  • Dựa vào tính chất của tam giác vuông, ta chứng minh hai góc  và  cùng phụ với một góc.

  • Áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác sin trong các tam giác vuông để lập các tỉ số.

  • Sử dụng các đẳng thức vừa tìm được để chứng minh AC²=AE⋅AD.

  • Dựa vào hình thang và các yếu tố đã cho để tìm độ dài của $AE$.

  • Thay giá trị $AE$ và $AD$ vào đẳng thức trên để tính $AC$.

• Câu b):

  • Dựa vào kết quả của câu a) để tìm $\sin$.

  • Sử dụng giá trị của $\sin$ để suy ra số đo góc D.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

a) Chứng minh , suy ra AC²=AE⋅AD và tính $AC$

• Chứng minh :

  Xét $△CDE$ vuông tại $E$, ta có hai góc nhọn  và  phụ nhau, nên .

  Mặt khác, ta có .

  Từ đó suy ra  (vì cùng phụ với góc ).

• Chứng minh AC²=AE⋅AD và tính $AC$:

  • Xét $△ACD$ vuông tại C, ta có:

  • Xét $△ACE$ vuông tại E, ta có:

  • Vì  nên 

  • Từ đó, ta có đẳng thức: 

  • Nhân chéo, ta được: 

  Bây giờ, ta sẽ tính $AC$. Ta cần tìm $AE$.

  • Hình thang ABCD có  và 

  • Kẻ $CE\perp AD$. Vì , nên tứ giác $ABCE$ là hình chữ nhật.

  • Theo tính chất hình chữ nhật, ta có $AE=BC=4$ cm.

  • Thay $AE=4$ cm và $AD=16$ cm vào đẳng thức AC²=AE⋅AD: .  (vì $AC>0$).

  • Vậy, độ dài cạnh AC là 8 cm.

b) Tính góc D của hình thang

Xét $△ACD$ vuông tại C, ta có:

Từ đó, ta suy ra .

Góc D của hình thang chính là góc .

Vậy, góc D của hình thang là 30^∘.