Bài 3.21 trang 59 Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 3.21 trang 59 Toán 9:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}$

b) $\frac{5\sqrt{48}-3\sqrt{27}+2\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$

c) $\frac{1}{3+2\sqrt{2}}+\frac{4\sqrt{2}-4}{2-\sqrt{2}}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để thực hiện các phép tính này, các em cần áp dụng các quy tắc sau:

• Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\sqrt{A^2 B}=|A|\sqrt{B}$ (với $B\ge 0$).

• Nhân phân phối: $A(B\pm C)=AB\pm AC.$

• Trục căn thức ở mẫu: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

• Cộng, trừ các căn thức đồng dạng: Chỉ có thể cộng, trừ các căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn.

Mấu chốt của bài toán là biết cách biến đổi mỗi số hạng để việc tính toán trở nên đơn giản và chính xác.

Lời giải Bài 3.21 trang 59 Toán 9:

a) Tính $2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}$

Đầu tiên, ta khử mẫu trong dấu căn:

$2\sqrt{\frac{2}{3}}=2\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3}$$=\frac{2\sqrt{6}}{3}.4\sqrt{\frac{3}{2}}=4\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$=4\frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{6}$.

Biểu thức trở thành:

$\frac{2\sqrt{6}}{3}-2\sqrt{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}-\frac{6\sqrt{6}}{3}$$=\frac{2\sqrt{6}-6\sqrt{6}}{3}=-\frac{4\sqrt{6}}{3}.$

Vậy, giá trị của biểu thức là $-\frac{4\sqrt{6}}{3}.$

b) Tính $\frac{5\sqrt{48}-3\sqrt{27}+2\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$

Ta rút gọn từng số hạng ở tử thức:

$\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}.\sqrt{27}$ $=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}.\sqrt{12}$ $=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}.$

Thay vào biểu thức:

$\frac{5(4\sqrt{3})-3(3\sqrt{3})+2(2\sqrt{3})}{\sqrt{3}}$$=\frac{20\sqrt{3}-9\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$=\frac{(20-9+4)\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=15.$

Vậy, giá trị của biểu thức là 15.

c) Tính $\frac{1}{3+2\sqrt{2}}+\frac{4\sqrt{2}-4}{2-\sqrt{2}}$

Ta trục căn thức ở mẫu cho từng phân số:

• Phân số thứ nhất: $\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$ Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp $3-2\sqrt{2}$:

  $\frac{1(3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}$$=\frac{3-2\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2})^2}$$=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}=3-2\sqrt{2}.$

• Phân số thứ hai: $\frac{4\sqrt{2}-4}{2-\sqrt{2}}$ Ta có thể rút gọn tử thức: $4\sqrt{2}-4=4(\sqrt{2}-1)$.

  Ta trục căn thức ở mẫu:

  $\frac{4(\sqrt{2}-1)}{2-\sqrt{2}}=\frac{4(\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}$$=\frac{4(2\sqrt{2}+2-\sqrt{2}-2)}{4-2}$$=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.$ 

Biểu thức ban đầu thành: $\frac{1}{3+2\sqrt{2}}+\frac{4\sqrt{2}-4}{2-\sqrt{2}}$$=3-2\sqrt{2}.+2\sqrt{2}=3$

Vậy, giá trị của biểu thức là 3.