Giải bài 2.24 trang 56 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức: Cấp số cộng, cấp số nhân

Đề bài:

Cho dãy số (u_n) với u_n = 3n + 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 3.

B. Dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 6.

C. Dãy số (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 3.

D. Dãy số (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 6.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để xác định một dãy số (un​) là cấp số cộng hay cấp số nhân, ta có thể làm theo các bước sau:

1. Kiểm tra cấp số cộng:

• Một dãy số (u_n​) là cấp số cộng nếu hiệu của hai số hạng liên tiếp là một hằng số.

• Tức là: u_n​−u_n−1​=d (hằng số) với mọi $n\ge 2$.

• $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.

2. Kiểm tra cấp số nhân:

• Một dãy số (u_n​) là cấp số nhân nếu thương của hai số hạng liên tiếp là một hằng số.

• Tức là:  (hằng số) với mọi $n\ge 2$.

• $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.

Với bài toán này, ta sẽ kiểm tra xem hiệu u_n​−u_n−1​ có phải là một hằng số hay không.

Lời giải chi tiết:

Ta có dãy số  với .

Để kiểm tra xem đây có phải là cấp số cộng hay không, ta xét hiệu .

Với , ta có: 

Xét hiệu: 

Vì hiệu  là một hằng số (không phụ thuộc vào n), nên dãy số  là một cấp số cộng.

Công sai của cấp số cộng này là d = 3.

Đối chiếu với các đáp án:

• A. Dãy số  là cấp số cộng với công sai d = 3.

• B. Dãy số  là cấp số cộng với công sai d = 6.

• C. Dãy số  là cấp số nhân với công bội q = 3.

• D. Dãy số  là cấp số nhân với công bội q = 6.

Kết quả của chúng ta khớp với đáp án A.