Bài 4 trang 64 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 64 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ∠ASB = 90^o, ∠BSC = 60^o, ∠ASC = 120^o. Gọi I là trung điểm cạnh AC . Chứng minh SI ⊥ (ABC) .

Giải bài 4 trang 64 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Xét ΔSBC cân tại S (vì SB = SC = a ) có 

Suy ra ΔSBC đều nên BC = a

Áp dụng định lí Pythagore vào ΔSAB vuông tại S , ta có :

Áp dụng định lí cos vào ΔSAC , ta có:

Ta có: AB² + BC² = AC² nên ΔABC vuông tại B (theo định lí Pythagore đảo) .

Lại có I là trung điểm AC nên 

Mà: ΔSAC cân tại S; I là trung điểm của AC nên SI ⊥ AC (1)

Ta có: SI² + IB² = SB² nên ΔSBI vuông tại I (theo định lí Pythagore đảo) .

Suy ra SI ⊥ IB (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SI ⊥ (ABC)