Bài 2 trang 73 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 73 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Cho tam giác đều ABC cạnh a, I trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Vẽ đoạn thẳng SD có độ dài và vuông góc với (ABC). Chứng minh rằng:

a) (SBC) ⊥ (SAD);

b) (SAB) ⊥ (SAC).

Giải bài 2 trang 73 Toán 11 tập 2 Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Tam giác ABC đều có I là trung điểm nên AI ⊥ CB

hay AD ⊥ BC (1)

Vì SD ⊥ (ABC) ⇒ SD ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SAD)  (3)

Mà BC ⊂ (SBC)  (4)

Từ (3) và (4) ⇒ (SBC) ⊥ (SAD) (đpcm)

b) Vì ΔABC đều nên 

Vì ΔSAD vuông tại D nên

Kẻ IH ⊥ SA.

Xét ΔAHI và ΔADS:

 chung

⇒ ΔAHI ᔕ ΔADS (g.g)

Xét ΔBHC có HI là trung tuyến và HI = BC/2

⇒ ΔBHC vuông tại H.

Ta có: BC ⊥ (SAD) nên SA ⊥ BC.

Mà SA ⊥ HI nên SA ⊥ (HBC)

⇒ SA ⊥ HB (1)

Mà HB ⊥ HC (ΔBHC vuông tại H)  (2)

Từ (1) và (2) ⇒ HB ⊥ (SAC)  (3)

Mà HB ⊂ (SAB)  (4)

Từ (3) và (4) ⇒ (SAB) ⊥ (SAC)  (đpcm)

Mà HB ⊂ (SAB)

⇒ (SAB) ⊥ (SAC)