Giải bài 3 trang 73 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo

10:16:1413/02/2023

Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong mỗi trường hợp sau:...

Hướng dẫn giải bài 3 trang 73 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo chi tiết, dễ hiểu sẽ được HayHocHoi trình bày qua bài viết dưới đây.

Bài 3 trang 73 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo: Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong mỗi trường hợp sau:

a) d₁: x – y + 2 = 0 và d₂: x + y + 4 = 0;

b) $\small d_1:\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=3+2t \end{matrix}\right.$ và d₂: x - 3y + 2 = 0;

c) $\dpi{100} \small d_1:\left\{\begin{matrix} x=2-t\\ y=5+3t \end{matrix}\right.$ và $\dpi{100} \small d_2:\left\{\begin{matrix} x=1+3t'\\ y=3+t' \end{matrix}\right.$

Giải bài 3 trang 73 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo:

a) Gọi A là giao điểm của đường thẳng d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

$\small \left\{\begin{matrix} x-y+2=0\\ x+y+4=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=-2\\ x+y=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-3\\ y=-1 \end{matrix}\right.$

⇒ A(-3; -1).

Ta có:

Đường thẳng d₁: x – y + 2 = 0 có VTPT là $\small \overrightarrow{n}_1=(1;-1)$

Đường thẳng d₂: x + y + 4 = 0 có VTPT là $\dpi{100} \small \overrightarrow{n}_2=(1;1)$

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:

$\small cos(d_1;d_2)=|cos(\overrightarrow{n}_1;\overrightarrow{n}_2)|=\frac{|\overrightarrow{n}_1.\overrightarrow{n}_2|}{|\overrightarrow{n}_1|.|\overrightarrow{n}_2|}$ $\small =\frac{\left | 1.1+(-1).1 \right |}{\sqrt{1^2+(-1)^2}.\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{0}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=0$

⇒ (d₁; d₂) = 90°

Vậy giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là A(-3;-1) và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 90°.

b) Ta có: $\small d_1:\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=3+2t \end{matrix}\right.$ $\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1=t\\ \frac{y-3}{2}=t \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow x-1=\frac{y-3}{2}$

⇔ 2x – 2 = y – 3

⇔ 2x – y + 1 = 0

Gọi B là giao điểm của đường thẳng d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

$\small \left\{\begin{matrix} 2x - y + 1 = 0\\ x-3y+2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-1}{5}\\ y=\frac{3}{5} \end{matrix}\right.\Rightarrow B(\frac{-1}{5};\frac{3}{5})$

Ta có:

Đường thẳng d₁: 2x – y + 1 = 0 có VTPT là $\dpi{100} \small \overrightarrow{n}_1=(2;-1)$

Đường thẳng d₂: x – 3y + 2 = 0 có VTPT là $\dpi{100} \small \overrightarrow{n}_2=(1;-3)$

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:

$\small cos(d_1;d_2)=|cos(\overrightarrow{n}_1;\overrightarrow{n}_2)|=\frac{|\overrightarrow{n}_1.\overrightarrow{n}_2|}{|\overrightarrow{n}_1|.|\overrightarrow{n}_2|}$ $\dpi{100} \small =\frac{\left | 2.1+(-1).(-3) \right |}{\sqrt{2^2+(-1)^2}.\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}.\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇒ (d₁; d₂) = 45°

Vậy giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là B(-1/5;3/5) và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 45°.

c) Gọi C là giao điểm của đường thẳng d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

$\small \left\{\begin{matrix} 2-t=1+3t'\\ 5+3t=3+t' \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t+3t'=1\\ -3t+t'=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=-1/2\\ t'=1/2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2-\left ( -\frac{1}{2} \right )=\frac{5}{2}\\ \\ y=5+3.\left ( -\frac{1}{2} \right )=\frac{7}{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow C\left ( \frac{5}{2};-\frac{7}{2} \right )$

Ta có:

Đường thẳng d₁: $\dpi{100} \small d_1:\left\{\begin{matrix} x=2-t\\ y=5+3t \end{matrix}\right.$ có VTCP: $\dpi{100} \small \overrightarrow{u}_1=(-1;3)$

Đường thẳng $\dpi{100} \small d_2:\left\{\begin{matrix} x=1+3t'\\ y=3+t' \end{matrix}\right.$ có VTCP: $\dpi{100} \small \overrightarrow{u}_2=(3;1)$

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:

$\dpi{100} \small cos(d_1;d_2)=|cos(\overrightarrow{u}_1;\overrightarrow{u}_2)|=\frac{|\overrightarrow{u}_1.\overrightarrow{u}_2|}{|\overrightarrow{u}_1|.|\overrightarrow{u}_2|}$ $\dpi{100} \small =\frac{\left | (-1).3+3.1 \right |}{\sqrt{(-1)^2+3^2}.\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{0}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=0$

⇒ (d₁; d₂) = 90°

Vậy giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là C(5/2;7/2) và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 90°.

Hy vọng với lời giải bài 3 trang 73 Toán 10 Tập 2 SGK Chân trời Sáng tạo ở trên đã giúp các em hiểu và nắm vững phần kiến thức này. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

• Xem giải bài tập Toán 10 SGK tập 2 Chân trời sáng tạo cùng chuyên mục

> Bài 1 trang 73 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo: Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A(2; 1), B(1; 4), C(4; 5), D(5; 2)...

> Bài 2 trang 73 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo: Cho AB và CD là hai dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O)...

> Bài 3 trang 73 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo: Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong...

> Bài 4 trang 74 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo: Tính tâm và bán kính của đường tròn tâm M(-2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d...

> Bài 5 trang 74 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:...

> Bài 6 trang 74 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:...

> Bài 7 trang 74 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:...

> Bài 8 trang 74 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C)...

> Bài 9 trang 74 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip...

> Bài 10 trang 74 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo: Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn từng điều kiện:...

> Bài 11 trang 74 Toán 10 tập 2 SGK Chân trời sáng tạo: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol...