Bài 6 trang 24 Toán 11 tập 2 Cánh Diều: Tính xác suất

Bài 6 trang 24 Toán 11 tập 2 Cánh Diều:

Trong một chiếc hộp có 20 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 9 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi.

Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra có đúng hai màu.

Phân Tích Hướng Dẫn Giải:

1. Tổng quan: Tính xác suất $P(A)$ với $A$: "3 viên bi có đúng hai màu".

2. Biến cố đối ($\overline{A}$): Vì tổng số viên bi là 3, số màu tối đa là 3. Các trường hợp về số màu có thể xảy ra là: 1 màu, 2 màu, 3 màu.

   • $A$ = "2 màu".

   • $\overline{A}$ = "1 màu hoặc 3 màu".

3. Tính $n(\overline{A})$: Tính số cách chọn 3 viên bi có cùng màu (1 màu) cộng với số cách chọn 3 viên bi có 3 màu khác nhau (3 màu).

4. Công thức: $P(A) = 1 - P(\overline{A})$.

Giải bài 6 trang 24 Toán 11 tập 2 Cánh Diều:

− Mỗi cách chọn ra đồng thời 3 viên bi trong hộp có 20 viên bi cho ta một tổ hợp chập 3 của 20 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω của phép thử trên gồm các tổ hợp chập 3 của 20 phần tử:

$n(\Omega )=C_{20}^{3}=\frac{20!}{3!.17!}=1140$

− Xét biến cố A: "3 viên bi lấy ra có đúng hai màu".

Khi đó biến cố đối  của A là: "3 viên bi lấy ra có 3 màu khác nhau hoặc có cùng màu".

⦁ Trường hợp 1: Ba viên bi lấy ra có 3 màu khác nhau, ta có:

$C_{9}^{1}.C_{6}^{1}.C_{5}^{1}=270$ (cách chọn)

⦁ Trường hợp 2: Ba viên bi lấy ra có cùng màu (cùng màu đỏ hoặc cùng màu xanh hoặc cùng màu vàng), ta có:

$C_{9}^{3}+C_{6}^{3}+C_{5}^{3}=114$ (cách chọn)

Như vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố  là:

$n(\overline{A})=270+114=384$ (cách chọn)

Nên xác suất của biến cố đối  là: 

$P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega )}=\frac{384}{1140}=\frac{32}{95}$

Suy ra, xác suất của biến cố A là:

$P(A)=1-P(\overline{A})$ $=1-\frac{32}{95}=\frac{63}{95}$

Vậy xác suất để 3 viên bi lấy ra có đúng hai màu 63/95.