Bài 3.15 trang 53 Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 3.15 trang 53 Toán 9 

Cho căn thức: $\sqrt{x^2-4x+4}$

a) Hãy chứng tỏ căn thức xác định với mọi giá trị của x

b) Rút gọn căn thức đã cho với x ≥ 2

c) Chứng tỏ rằng với mọi x ≥ 2, biểu thức $\sqrt{x-\sqrt{x^2-4x+4}}$ có giá trị không đổi.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhớ các quy tắc cơ bản sau:

• Điều kiện xác định của căn thức: Biểu thức \sqrt{A} xác định khi A \ge 0.

• Rút gọn căn bậc hai: \sqrt{A^2} = |A|.

• Giá trị tuyệt đối: |A| = A khi A \ge 0, và |A| = -A khi A < 0.

Mấu chốt của bài toán là nhận ra biểu thức dưới dấu căn là một hằng đẳng thức, từ đó dễ dàng rút gọn và chứng minh các yêu cầu của đề bài.

Lời giải Bài 3.15 trang 53 Toán 9 

a) Điều kiện căn thức xác định là: x² – 4x + 4 ≥ 0

Ta thấy: x² – 4x + 4 = (x – 2)² ≥ 0 với mọi x ∈ R.

Vậy căn thức xác định với mọi giá trị của x

b) Rút gọn căn thức đã cho với x ≥ 2

Ta có: $\sqrt{x^2-4x+4}= \sqrt{(x-2)^2}$

= |x – 2| = x – 2 (vì x ≥ 2 nên x – 2 ≥ 0)

c) Chứng tỏ rằng với mọi x ≥ 2, biểu thức $\sqrt{x-\sqrt{x^2-4x+4}}$ có giá trị không đổi.

Theo câu b) với mọi x ≥ 2, ta có:

$\sqrt{x^2-4x+4}= x-2$

Nên: $\sqrt{x-\sqrt{x^2-4x+4}}=\sqrt{x-(x-2)}$ $=\sqrt{x-x+2}=\sqrt{2}$

Vậy $\sqrt{x-\sqrt{x^2-4x+4}}$ có giá trị không đổi bằng $\sqrt{2}$ với mọi x ≥ 2