Giải bài 1.21 trang 39 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

14:56:1207/06/2023

Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết Bài 1.21 trang 39 trong sách giáo khoa Toán 11 tập 1, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống. Bài toán này sẽ giúp các em áp dụng kiến thức về phương trình lượng giác để giải quyết một bài toán thực tế rất thú vị về chuyển động ném xiên trong Vật lí.

Đề bài:

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v₀ = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $\small y=\frac{-g}{2v_{0}^{2}cos^2\alpha }x^2+xtan\alpha$ , ở đó g = 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Thay số vào phương trình quỹ đạo: Thay các giá trị $v_{0} = 500$ m/s và $g = 9, 8$ m/s² vào phương trình quỹ đạo đã cho để có một phương trình cụ thể hơn.
Tính tầm xa (câu a): Quả đạn chạm đất khi chiều cao $y = 0$ . Ta sẽ giải phương trình $y = 0$ để tìm giá trị của $x$ , đó chính là tầm xa.
Tìm góc bắn (câu b): Dựa vào kết quả tầm xa ở câu a, ta thay $x = 22000$ m vào để tìm $sin (2 α)$ , sau đó giải phương trình lượng giác để tìm góc $α$ .

Lời giải chi tiết:

Với v₀ = 500 m/s, g = 9,8 m/s² thay vào phương trình quỹ đạo của quả đạn, ta được:

$\small y=\frac{-g}{2v_{0}^{2}cos^2\alpha }x^2+xtan\alpha$ $\small =\frac{-9,8}{2.500^2.cos^2\alpha }+xtan\alpha$

$\dpi{100} \small =\frac{-49}{2500000.cos^2\alpha }.x^2+xtan\alpha$

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới...

Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó:

$\dpi{100} \small \dpi{100} \small \frac{-49}{2500000.cos^2\alpha }.x^2+xtan\alpha=0$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow x\left (\frac{-49}{2500000.cos^2\alpha }.x+tan\alpha \right )=0$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=0\\ \\x=\frac{2500000.cos^2\alpha .tan\alpha }{49} \end{matrix} \right.$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=0\\ \\x=\frac{1250000.2.cos\alpha .sin\alpha }{49} \end{matrix} \right.$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=0\\ \\x=\frac{1250000.sin2\alpha }{49} \end{matrix} \right.$

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn)

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là: $\dpi{100} \small x=\frac{1250000.sin2\alpha }{49}\: (m)$

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu

Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó: $\dpi{100} \small x=\frac{1250000.sin2\alpha }{49}=22000$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow sin2\alpha =\frac{539}{625}=0,8624$

Gọi: $\small \beta \in \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right ]$ là góc thỏa mãn sinβ = 0,8624.

Khi đó ta có: sin2α = sinβ

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 2\alpha =\beta +k2\pi\\ 2\alpha =\pi-\beta +k2\pi \end{matrix} \right.\: ,k\in \mathbb{Z}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \alpha =\frac{\beta }{2}+k\pi\\ \alpha =\frac{\pi}{2}-\frac{\beta}{2} +k\pi \end{matrix} \right.\: ,k\in \mathbb{Z}$

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Hàm số $\dpi{100} \small y =\frac{-49}{2500000.cos^2\alpha }.x^2+xtan\alpha$ là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(x_I; y_I) là:

$\dpi{100} \small x_i=-\frac{b}{2a}=-\frac{tan\alpha }{2.\left (\frac{-49}{2500000.cos^2\alpha } \right )} =\frac{1250000.sin\alpha .cos\alpha }{49}$

$\dpi{100} \small y_i=f(x_i)$ $\small =\frac{-49}{25.10^5.cos^2\alpha }.\left ( \frac{125.10^4.sin\alpha .cos\alpha }{49} \right )^2+\frac{125.10^4.sin\alpha .cos\alpha }{49}.tan\alpha$

Vậy, suy ra:

$\dpi{100} \small x_i =\frac{1250000.sin\alpha .cos\alpha }{49}$ và $\small \dpi{100} \small y_i=\frac{625000.sin^2\alpha }{49}$

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là:

$\dpi{100} \small \dpi{100} \small y_{max}=\frac{625000.sin^2\alpha }{49}\leq \frac{625000 }{49}$

dấu "=" xảy ra khi sin²α = 1 ⇔ α = 90°.

Như vậy, khi góc bắn α = 90° thì quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện được cách áp dụng lý thuyết lượng giác để giải quyết một bài toán thực tế. Việc sử dụng công thức biến đổi và giải phương trình lượng giác là chìa khóa để tìm ra lời giải chính xác.

• Xem thêm:

Bài 1.19 trang 39 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức: Giải các phương trình sau:...

Bài 1.20 trang 39 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức: Giải các phương trình sau: a) sin2x + cos4x = 0;...

Bài 1.22 trang 39 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức: Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình...