Bài 6.17 trang 24 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.17 trang 24 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi x ∈ R.

x² + (m + 1)x + 2m + 3. 

Phân tích Điều kiện

Để tam thức $\mathbf{f(x) = ax^2 + bx + c}$ luôn dương ($\mathbf{f(x) > 0}$) với mọi $x \in \mathbb{R}$, cần thoả mãn hai điều kiện đồng thời:

1. Hệ số $a$ phải dương ($\mathbf{a > 0}$). (Quyết định chiều của parabol).

2. Biệt thức $\mathbf{\Delta}$ phải âm ($\mathbf{\Delta < 0}$). (Đảm bảo parabol nằm hoàn toàn phía trên trục $Ox$).

Xét tam thức $f(x) = x^2 + (m + 1)x + 2m + 3$:

• Hệ số $a$: $a = 1$. Điều kiện $a > 0$ đã được thoả mãn.

• Biệt thức $\Delta$: Ta cần $\Delta < 0$.

  $\Delta = b^2 - 4ac = (m + 1)^2 - 4(1)(2m + 3)$

Giải bài 6.17 trang 24 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Xét tam thức f(x) = x² + (m + 1)x + 2m + 3

Có ∆ = (m + 1)² – 4 . 1 . (2m + 3) = m² + 2m + 1 – 8m – 12 = m² – 6m – 11. 

Lại có hệ số a = 1 > 0. 

Để f(x) luôn dương (cùng dấu hệ số a) với mọi x ∈ R thì ∆ < 0. 

⇔ m² – 6m – 11 < 0. 

Xét tam thức h(m) = m² – 6m – 11

Có ∆'_m = (– 3)² – 1 . (– 11) = 20 > 0

Nên h(m) có hai nghiệm $m_1=3-\sqrt{20}=3-2\sqrt{5}$ và $m_2=3+\sqrt{20}=3+2\sqrt{5}$

Mặt khác ta có hệ số a_m = 1 > 0, nên ta có bảng xét dấu sau:

Vì vậy, h(m) < 0 với mọi $m\in \left ( 3-2\sqrt{5};3+2\sqrt{5} \right )$

Hay ∆ < 0 với mọi $m\in \left ( 3-2\sqrt{5};3+2\sqrt{5} \right )$

Vậy $m\in \left ( 3-2\sqrt{5};3+2\sqrt{5} \right )$ thì tam thức bậc hai đã cho luôn dương với mọi x ∈ R.