Bài 6.19 trang 24 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Bất phương trình bậc 2

Đề bài 6.19 trang 24 Toán 10 tập 2 KNTT

Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ. 

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện của biến số x.

2. Tính diện tích của từng hình tròn lớn và hai hình tròn nhỏ theo x.

3. Viết biểu thức cho diện tích S(x) theo x.

4. Thiết lập và giải bất phương trình theo yêu cầu của đề bài.

5. Kết hợp điều kiện xác định để đưa ra kết quả cuối cùng.

Lời giải chi tiết bài 6.19 trang 24 Toán 10 tập 2 KNTT

Bước 1: Điều kiện của x

Vì M di chuyển trên đoạn AB và AM = x, nên x phải lớn hơn 0. Vì AM < AB, nên x phải nhỏ hơn 4. Vậy, điều kiện xác định của x là 0 < x < 4.

Bước 2: Tính diện tích các hình tròn

• Hình tròn lớn: có đường kính AB = 4 nên bán kính là $R=\frac{4}{2}=2$.

  Diện tích hình tròn lớn là: $S_R=\pi R^2=\pi\cdot 2^2=4\pi$.

• Hai hình tròn nhỏ:

  • Đường tròn nhỏ thứ nhất có đường kính AM = x nên bán kính là $r_1=\frac{x}{2}$.

    Diện tích của nó là: $S_1=\pi r_1^2=\pi(\frac{x}{2})^2$ $=\frac{x^2}{4}\pi$

  • Ta có AM + MB = AB nên MB = AB - AM = 4 - x. Đường tròn nhỏ thứ hai có đường kính MB = 4 - x nên bán kính là $r_2=\frac{4-x}{2}$.

    Diện tích của nó là:$S_2=\pi r_2^2=\pi(\frac{4-x}{2})^2$ $=\frac{(4-x)^2}{4}\pi$

Bước 3: Viết biểu thức cho diện tích S(x)

Tổng diện tích hai hình tròn nhỏ là:

$S_{12}=S_1+S_2$ $=\frac{x^2}{4}\pi+\frac{(4-x)^2}{4}\pi$ $=\frac{x^2+(16-8x+x^2)}{4}\pi$ $=\frac{2x^2-8x+16}{4}\pi$ $=\frac{x^2-4x+8}{2}\pi$

Diện tích S(x) là diện tích hình tròn lớn trừ đi tổng diện tích hai hình tròn nhỏ:

$S(x)=S_R-S_{12}$ $=4\pi-\frac{x^2-4x+8}{2}\pi$ $=\pi(4-\frac{x^2-4x+8}{2})$ $=\pi(\frac{8-(x^2-4x+8)}{2})$ $=\frac{-x^2+4x}{2}\pi$

Bước 4: Thiết lập và giải bất phương trình

Theo đề bài, S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ, tức là: $S(x)\le\frac{1}{2}S_{12} $

$\frac{-x^2+4x}{2}\pi\le\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2-4x+8}{2}$

$\pi\frac{-x^2+4x}{2}\le\frac{x^2-4x+8}{4}$

Nhân cả hai vế với 4 (vì 4 > 0), ta có: 

$2(-x^2+4x)\le x^2-4x+8$

$-2x^2+8x\le x^2-4x+8$

$3x^2-12x+8\ge 0$

Bước 5: Xét dấu tam thức bậc hai

Xét tam thức $f(x)=3x^2-12x+8$

Ta tính biệt thức $\Delta'$ của phương trình $3x^2-12x+8=0$:

$\Delta'=(-6)^2-3\cdot 8=36-24=12>0$

Tam thức có hai nghiệm phân biệt: $x_1=\frac{6-\sqrt{12}}{3}=\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$

$x_2=\frac{6+\sqrt{12}}{3}=\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$

Vì hệ số a = 3 >0; f(x) ≥ 0 khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm: 

$x\in(-\infty;\frac{6-2\sqrt{3}}{3}]\cup[\frac{6+2\sqrt{3}}{3};+\infty)$

Hoặc lập bảng xét dấu như sau:

Bước 6: Kết hợp điều kiện

Kết hợp với điều kiện ban đầu 0 < x < 4, ta có: $\frac{6-2\sqrt{3}}{3}\approx 0,845$ và $\frac{6+2\sqrt{3}}{3}\approx 3,155$

Vậy, các giá trị của x thỏa mãn đề bài là: $x\in(0;\frac{6-2\sqrt{3}}{3}]\cup[\frac{6+2\sqrt{3}}{3};4)$