Bài 2.9 trang 32 Toán 11 Tập 1 thuộc chương "Dãy số". Bài tập này giúp các em củng cố kiến thức về cấp số cộng, cách xác định một dãy số có phải là cấp số cộng hay không, và cách tìm số hạng tổng quát của nó.
Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (un) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng un = u1 + (n – 1)d.
a) un = 3 + 5n;
b) un = 6n – 4;
c) u1 = 2, un = un – 1 + n;
d) u1 = 2, un = un – 1 + 3.
Cấp số cộng: Một dãy số (un) được gọi là cấp số cộng nếu hiệu un−un−1 là một hằng số không đổi. Hằng số này được gọi là công sai (d).
Số hạng tổng quát: Công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng là .
a) Xét dãy số
Năm số hạng đầu:
u1=3+5⋅1=8
u2=3+5⋅2=13
u3=3+5⋅3=18
u4=3+5⋅4=23
u5=3+5⋅5=28
Xét cấp số cộng: Ta có
.
Hiệu của hai số hạng liên tiếp là một hằng số, nên dãy số (un) là một cấp số cộng.
Công sai và số hạng tổng quát: Số hạng đầu . Công sai
.
Số hạng tổng quát: .
b) Xét dãy số
Năm số hạng đầu:
u1=6⋅1−4=2
u2=6⋅2−4=8
u3=6⋅3−4=14
u4=6⋅4−4=20
u5=6⋅5−4=26
Xét cấp số cộng: Ta có
Hiệu của hai số hạng liên tiếp là một hằng số, nên dãy số (un) là một cấp số cộng.
Công sai và số hạng tổng quát: Số hạng đầu . Công sai
.
Số hạng tổng quát: .
c) Xét dãy số
Năm số hạng đầu:
u1=2
u2=u1+2=2+2=4
u3=u2+3=4+3=7
u4=u3+4=7+4=11
u5=u4+5=11+5=16
Xét cấp số cộng: Ta có .
.
Hiệu thay đổi (không phải hằng số), nên dãy số (un) không phải là cấp số cộng.
d) Xét dãy số
Năm số hạng đầu:
u1=2
u2=u1+3=2+3=5
u3=u2+3=5+3=8
u4=u3+3=8+3=11
u5=u4+3=11+3=14
Xét cấp số cộng: Ta có .
Hiệu của hai số hạng liên tiếp là một hằng số, nên dãy số (un) là một cấp số cộng.
Công sai và số hạng tổng quát: Số hạng đầu . Công sai
.
Số hạng tổng quát: .
Đáp số:
a) Cấp số cộng, ,
.
b) Cấp số cộng, ,
.
c) Không phải cấp số cộng.
d) Cấp số cộng, ,
.
Bài toán này giúp các em làm quen với khái niệm cấp số cộng và các cách biểu diễn của nó. Nắm vững điều kiện để một dãy số là cấp số cộng và công thức số hạng tổng quát là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan. Chúc các em học tốt!
• Xem thêm:
Giải bài 2.8 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức
Giải bài 2.10 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức
Giải bài 2.11 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức
Giải bài 2.12 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức