Giải bài 2.9 trang 51 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (u_n) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n = u₁ + (n – 1)d. 

a) u_n = 3 + 5n;

b) u_n = 6n – 4;

c) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + n;

d) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + 3.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán này, các em cần làm theo các bước sau:

1. Tính năm số hạng đầu: Lần lượt thay $n=1,2,3,4,5$ vào công thức của dãy số để tìm các số hạng u₁​,u₂​,u₃​,u₄​,u₅​.

2. Xét cấp số cộng:

   • Nếu dãy số được cho bởi công thức truy hồi u_n​=u_n−1​+d (với $d$ là hằng số) hoặc công thức số hạng tổng quát u_n​=an+b (với $a,b$ là hằng số), thì đó là một cấp số cộng.

   • Hoặc, các em có thể tính hiệu u_n​−u_n−1​. Nếu hiệu này là một hằng số không đổi với mọi $n\ge 2$, thì dãy số là cấp số cộng, với hằng số đó chính là công sai $d$.

3. Viết công thức tổng quát: Nếu dãy số là cấp số cộng, các em sử dụng công thức u_n​=u₁​+(n−1)d để viết lại công thức số hạng tổng quát.

Lời giải chi tiết:

a) u_n = 3 + 5n

• Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 3 + 5 . 1 = 8;

u₂ = 3 + 5 . 2 = 13;

u₃ = 3 + 5 . 3 = 18;

u₄ = 3 + 5 . 4 = 23;

u₅ = 3 + 5 . 5 = 28.

• Ta có: u_n – u_{n – 1} = (3 + 5n) – [3 + 5(n – 1)] = 5, với mọi n ≥ 2.

Vì vậy, dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 8 và công sai d = 5.

⇒ Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:

u_n = u₁ + (n – 1)d = 8 + (n – 1). 5.

b) u_n = 6n – 4

• Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 6 . 1 – 4 = 2;

u₂ = 6 . 2 – 4 = 8;

u₃ = 6 . 3 – 4 = 14;

u₄ = 6 . 4 – 4 = 20;

u₅ = 6 . 5 – 4 = 26.

• Ta có: u_n – u_{n – 1} = (6n – 4) – [6(n – 1) – 4] = 6, với mọi n ≥ 2.

Vì vậy, dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 6.

⇒ Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:

u_n = u₁ + (n – 1)d = 2 + (n – 1). 6.

c) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + n

• Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 2;

u₂ = u₁ + 2 = 2 + 2 = 4;

u₃ = u₂ + 3 = 4 + 3 = 7;

u₄ = u₃ + 4 = 7 + 4 = 11;

u₅ = u₄ + 5 = 11 + 5 = 16.

• Ta có: u_n = u_{n – 1} + n ⇔ u_n – u_{n – 1} = n, do n luôn thay đổi nên hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy số (u_n) thay đổi.

Vì vậy, dãy số (u_n) không phải là cấp số cộng.

d) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + 3

• Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 2;

u₂ = u₁ + 3 = 2 + 3 = 5;

u₃ = u₂ + 3 = 5 + 3 = 8;

u₄ = u₃ + 3 = 8 + 3 = 11;

u₅ = u₄ + 3 = 11 + 3 = 14.

• Ta có: u_n = u_{n – 1} + 3 ⇔ u_n – u_{n – 1} = 3, với mọi n ≥ 2.

Vì vậy,  dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3.

⇒ Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:

u_n = u₁ + (n – 1)d = 2 + (n – 1). 3.