Giải bài 1.32 trang 41 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho góc bất kì α. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (sinα + cosα)² = 1 + sin2α;

b) cos⁴α – sin⁴α = cos2α.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh hai đẳng thức:

• (sinα+cosα)²=1+sin2α

Để chứng minh các đẳng thức này, chúng ta sẽ bắt đầu từ một vế (thường là vế phức tạp hơn) và biến đổi nó bằng các công thức lượng giác cho đến khi bằng vế còn lại. Các công thức quan trọng cần sử dụng bao gồm:

• Công thức lượng giác cơ bản: sin²α+cos²α=1

• Công thức nhân đôi: $sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha$ và cos2α=cos²α−sin²α

• Hằng đẳng thức đáng nhớ: (a+b)²=a²+2ab+b² và a²−b²=(a−b)(a+b)

Lời giải chi tiết:

a) (sinα + cosα)² = 1 + sin2α

Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin²α + cos²α = 1

Và công thức nhân đôi: sin2α = 2sinα.cosα

Ta có: VT = (sinα + cosα)² 

= sin²α + cos²α + 2sinα.cosα

= 1 + sin2α = VP (đpcm).

b) cos⁴α – sin⁴α = cos2α

Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin²α + cos²α = 1

Và công thức nhân đôi: cos2α = cos²α – sin²α.

Ta có: VT = cos⁴α – sin⁴α

= (cos²α)² – (sin²α)²

= (cos²α + sin²α)(cos²α – sin²α)

= 1.cos2α = cos2α = VP (đpcm).