Giải bài 8 trang 81 Toán 8 Tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC.

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình thoi.

b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, lấy điểm O sao cho E là trung điểm của OM. Chứng minh hai tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau.

c) Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC, D đối xứng với A qua BC. Bài toán có ba yêu cầu chính:

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình thoi: Ta sẽ sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi, hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.

b) Chứng minh tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau: Ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành để suy ra các cạnh song song và vuông góc, từ đó chứng minh tam giác vuông và bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh.

c) Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi: Ta sẽ sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi, tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau là hình thoi

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Xét tứ giác ABCD có:

M là trung điểm của BC (gt)

M là trung điểm của AD (D đối xứng với A qua BC)

Do đó tứ giác ABDC là hình bình hành

Mà AD ⊥ BC (vì D đối xứng với A qua BC)

Nên hình bình hành ABDC là hình thoi.

b) Tứ giác OAMB có:

E là trung điểm của OM (gt)

E là trung điểm của AB (gt)

Do đó tứ giác OAMB là hình bình hành

Suy ra ,

Do đó AOB và MBO là tam giác vuông.

Xét tam giác AOB và MBO ta có:

AO = MB (OAMB là hình bình hành)

OB chung

Suy ra ΔAOB=ΔMBO (c.g.c)

c) Ta có ME=AB (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Và AE=AB (E là trung điểm của AB)

⇒ EM=EA=AB (1)

Ta có MF=AC (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Và AF=AC (F là trung điểm của AC)

⇒MF=AF=AC(2)

AB = AC (vì ΔABCcân tại A)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: EM = EA = MF = AF

Do đó tứ giác AEMF là hình thoi.