Giải bài 4 trang 72 Toán 8 Tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 72 Toán 8 Tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = BA.

a) Chứng minh rằng DABD = DEBD.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh rằng tứ giác ADEH là hình thang vuông.

c) Gọi I là giao điểm của AH với BD, đường thẳng EI cắt AB tại F. Chứng minh rằng tứ giác ACEF là hình thang vuông.

Giải bài 4 trang 72 Toán 8 Tập 1 SGK Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh họa như sau:

a) Xét ΔABD và ΔEBD có:

BA = BE (gt);

 (do BD là tia phân giác của );

BD là cạnh chung,

Do đó ΔABD = ΔEBD (c-g-c).

b) Do ΔABD = ΔEBD (câu a) nên

  (hai góc tương ứng).

Do đó DE ⊥ BC

Mà AH ⊥ BC (giả thiết) nên DE // AH.

Tứ giác ADEH có DE // AH nên là hình thang

Lại có  nên ADEH là hình thang vuông.

c) Do ΔABD = ΔEBD (câu a) nên AD = ED (hai cạnh tương ứng)

Do đó D nằm trên đường trung trực của AE.

Lại có BA = BE (giả thiết)

nên B nằm trên đường trung trực của AE.

⇒ BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE

nên BD ⊥ AE, hay BI ⊥ AE.

Xét ΔABE có AI ⊥ BE, BI ⊥ AE nên I là trực tâm của tam giác

Do đó EI ⊥ AB hay EF ⊥ AB.

Mà CA ⊥ AB (do ΔABC vuông tại A)

⇒ EF // CA.

Tứ giác ACEF có EF // CA nên là hình thang.

Lại có  nên ACEF là hình thang vuông.