Giải bài 3 trang 87 Toán 8 Tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 87 Toán 8 Tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K. 

a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh HG = GK = KE.

Giải bài 3 trang 87 Toán 8 Tập 1 SGK Chân trời sáng tạo:

Ta có hình minh họa như sau:

a) Do E là điểm đối xứng với H qua I nên I là trung điểm của HE.

Tứ giác AHCE có hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có  nên hình bình hành AHCE là hình chữ nhật.

b) Xét ΔAHC có AM, HI là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ΔAHC.

Chứng minh tương tự đối với ΔAEC có K là trọng tâm của ΔAEC.

Ta có: 

Mà

Nên: 

Lại có:  và  nên

Hơn nữa: 

Vậy HG = GK = KE.