Giải bài 2 trang 80 Toán 8 Tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K (Hình 20).

a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh IB = ID.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K. Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành:

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, ta có thể chứng tỏ nó có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

b) Chứng minh IB = ID:

Ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh I là trung điểm của cả hai đường chéo BD và HK.

Các bước giải sẽ dựa vào việc suy luận tuần tự từ các giả thiết của bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Do AD // BC nên  (so le trong)

+ Xét ΔADH và ΔCBK có:

 AD = BC (chứng minh trên);

 (do )

⇒ ΔADH = ΔCBK (cạnh huyền – góc nhọn).

⇒ AH = CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có AH ⊥ DB và CK  ⊥ DB nên AH // CK.

+ Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK

nên AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do AHCK là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK (giả thiết) nên I là trung điểm của AC.

Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD, hay IB = ID.