Giải bài 5 trang 80 Toán 8 Tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD; E và F lần lượt là giao điểm của AK và CI với BD.

a) Chứng minh tứ giác AEFI là hình thang.

b) Chứng minh DE = EF = FB.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho hình bình hành ABCD với I, K là trung điểm của AB, CD. E, F là giao điểm của AK, CI với BD. Bài toán có hai yêu cầu chứng minh:

a) Tứ giác AEFI là hình thang: Để chứng minh một tứ giác là hình thang, ta cần chứng tỏ nó có một cặp cạnh đối song song. Ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh AK // CI.

b) DE = EF = FB: Ta sẽ sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác để chứng minh E và F chia đường chéo BD thành ba phần bằng nhau.

Các bước giải sẽ dựa vào việc suy luận tuần tự từ các giả thiết của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD.

- Vì I là trung điểm của AB nên

- Vì K là trung điểm của CD nên

⇒ AI = CK.

Tứ giác AICK có AI // CK (do AB // CD) và AI = CK nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

⇒ AK // CI hay AE // IF.

Tứ giác AEFI có AE // IF nên là hình thang.

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD.

Do đó O là trung điểm của AC và BD.

+ Xét ΔABC có BO, CI là hai đường trung tuyến của tam giác và BO, CI cắt nhau tại F 

⇒ F là trọng tâm của ΔABC.

+ Chứng minh tương tự đối với ΔACD ta cũng có E là trọng tâm của ΔACD.

Lại có O là trung điểm BD nên BO = DO, nên có:

  và

Mặt khác, lại có:

Vậy DE = EF = FB.