Bài 6.12 trang 16 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 6.12 trang 16 Toán 10 KNTT:

Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.

An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12 m.

Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác. 

Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta thiết lập hệ trục tọa độ $Oxy$ với:

1. Gốc $O$ là trung điểm của hai chân cổng (trên mặt đất).

2. Trục $Oy$ là trục đối xứng (đi qua đỉnh $I$).

3. Trục $Ox$ là mặt đất.

1. Xác định Tọa độ các điểm:

• Chân cổng A và B: Khoảng cách $8 \text{ m} \implies OA = OB = 4 \text{ m}$. $A(-4; 0)$, $B(4; 0)$.

• Điểm D: Điểm cách chân cổng $A$ là $0,5 \text{ m}$ ($AC=0,5 \text{ m}$) có chiều cao $2,93 \text{ m}$. Hoành độ điểm này là $x_D = AO - AC = 4 - 0,5 = 3,5 \text{ m}$ (hoặc $-3,5 \text{ m}$). $D(-3,5; 2,93)$.

2. Lập Hệ phương trình và Giải:

• Vì trục $Oy$ là trục đối xứng, Parabol phải có dạng $y = ax^2 + c$ (vì $x_I = -\frac{b}{2a} = 0 \implies b=0$).

• Thay tọa độ $B(4; 0)$ và $D(-3,5; 2,93)$ vào phương trình để tìm $a$ và $c$.

• Chiều cao cổng chính là tung độ đỉnh $I(0; c)$, tức là giá trị của $c$.

Lời giải chi tiết bài 6.12 trang 16 Toán 10:

Cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng là một parabol, giả sử parabol này có phương trình là y = ax² + bx + c với a ≠ 0. 

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ với Oy là trục đối xứng của cổng parabol: 

Khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 8 m. 

O là trung điểm của AB nên AO = OB = 4 m. 

Lấy điểm C cách A một khoảng 0,5 m, vì chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m nên CD = 2,93 m. 

Ta có: CO = AO – AC = 4 – 0,5 = 3,5 m. 

Vì vậy, ta có tọa độ các điểm là: A(– 4; 0), B(4; 0), C(– 3,5; 0), D(– 3,5; 2,93).

Ta thấy parabol đi qua các điểm A, B, D nên phương trình y = ax² + bx + c thỏa mãn tọa độ các điểm A, B, D, do đó ta có: 

0 = a . (– 4)² + b . (– 4) + c 

⇔ 16a – 4b + c = 0    (1)

0 = a . 4² + b . 4 + c 

⇔ 16a + 4b + c = 0   (2)

2,93 = a . (– 3,5)² + b . (– 3,5) + c = 0

 ⇔ 12,25a – 3,5b + c = 2,93   (3)

Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được: 8b = 0 ⇔ b = 0 thay vào (1) và (3) ta có hệ:

Nên phương trình parabol là: 

Toạ độ đỉnh: 

Chiều cao của cổng parabol chính là tung độ đỉnh I và bằng 

⇒ Kết quả của bạn An tính ra là không chính xác.