Giải bài 1.15 trang 30 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = sin2x + tan2x;

b) y = cosx + sin²x;

c) y = sinx.cos2x;

d) y = sinx + cosx.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để xét tính chẵn lẻ của một hàm số $y=f(x)$, các em cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

   • Điều kiện cần: Tập xác định $D$ phải là một tập đối xứng qua 0. Tức là, nếu $x\in D$ thì $-x$ cũng phải thuộc $D$.

2. Tính $f(-x)$ và so sánh với $f(x)$ và $-f(x)$.

   • Nếu $f(-x)=f(x)$ với mọi $x\in D$, thì hàm số là hàm chẵn.

   • Nếu $f(-x)=-f(x)$ với mọi $x\in D$, thì hàm số là hàm lẻ.

   • Nếu $f(-x)$ không bằng $f(x)$ và cũng không bằng $-f(x)$, thì hàm số là không chẵn, không lẻ.

Các em cần nhớ các tính chất cơ bản của hàm lượng giác:

• $\sin (-x)=-\sin x$ (hàm lẻ)

• $\cos (-x)=\cos x$ (hàm chẵn)

• $\tan (-x)=-\tan x$ (hàm lẻ)

• $\cot (-x)=-\cot x$ (hàm lẻ)

Lời giải chi tiết:

a) y = sin2x + tan2x

Biểu thức sin2x + tan2x có nghĩa khi cos2x ≠ 0 (vì ),

Nghĩa là:

⇒ Tập xác định của hàm số y = f(x) = sin2x + tan2x là:

Vì vậy, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có:

f(–x) = sin(–2x) + tan(–2x) = –sin2x – tan2x = – (sin2x + tan 2x) = – f(x), ∀ x ∈ D.

⇒ y = sin2x + tan2x là hàm số lẻ.

b) y = cosx + sin²x

Tập xác định của hàm số y = f(x) = cosx + sin²x là: D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có:

f(–x) = cos(–x) + sin²(– ) = cosx + (–sinx)² = cosx + sin²x = f(x), ∀ x ∈ D.

⇒ y = cosx + sin²x  là hàm số chẵn.

c) y = sinx.cos2x

Tập xác định của hàm số y = f(x) = sinx.cos2x là: D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(–x) = sin(–x).cos(–2x) = –sinx.cos 2x = –f(x), ∀ x ∈ D.

⇒ y = sinx.cos2x là hàm số lẻ.

d) y = sinx + cosx

Tập xác định của hàm số y = f(x) = sinx + cosx là: D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(–x) = sin (–x) + cos (–x) = – sinx + cosx ≠ – f(x).

⇒ y = sinx + cosx là hàm số không chẵn, không lẻ.