Giải bài 2.29 trang 57 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Chứng minh rằng:

a) Trong một cấp số cộng (u_n), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

  với k ≥ 2

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

  với k ≥ 2.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài yêu cầu chứng minh hai tính chất quan trọng của cấp số cộng và cấp số nhân:

• Câu a): Chứng minh rằng trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó. Công thức cần chứng minh là:

  ​​ với $k\ge 2$.

• Câu b): Chứng minh rằng trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó. Công thức cần chứng minh là:

  ​ với $k\ge 2$.

Để chứng minh, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa và công thức của từng loại dãy số.

• Cấp số cộng: u_n​=u_n−1​+d (hiệu của hai số hạng liên tiếp là hằng số $d$).

• Cấp số nhân: u_n​=u_n−1​⋅q (tỉ số của hai số hạng liên tiếp là hằng số $q$).

Lời giải chi tiết:

a) Giả sử (u_n) là cấp số cộng với công sai d. Khi đó với k ≥ 2, ta có:

u_{k – 1} = u_k – d và u_{k + 1} = u_k + d.

⇒ u_{k – 1} + u_{k + 1} = (u_k – d) + (u_k + d) = 2u_k 

hay  (đpcm).

b) Giả sử cấp số nhân có công bội là q. Khi đó với k ≥ 2, ta có:

u_{k – 1} = u₁.q^{k – 1 – 1} = u₁ . q^{k – 2};

u_{k + 1} = u₁.q^{k + 1 – 1} = u₁ . q^k.

⇒ u_{k – 1} . u_{k + 1} = (u₁.q^{k – 2}) . (u₁.q^k) 

  (đpcm)