Tìm m để hàm số bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm, điều kiện hàm số bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm? Toán lớp 12 - Hỏi đáp

Nếu các em chưa biết Điều kiện hàm số bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm hay cách tìm m để hàm số bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm như nào? thì nội dung bài viết này chính là dành cho các em.

1. Điều kiện để đồ thị hàm số bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm

Xét hàm số bậc 3 có dạng: y = f(x) = ax³ + bx² + cx  + d với (a ≠ 0) 

có f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Điều kiện để hàm số bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm là:

i) Phương trình hoành độ giao điểm  ax³ + bx² + cx  + d =  0 có 3 nghiệm phân biệt.

Hoặc

ii)  hay  (với x₁, x₂ là nghiệm của f'(x).

* Lưu ý: Điều kiện 1 thường được dùng trong các bài toán nhẩm được nghiệm hoặc tách riêng được m và x; khi không tác riêng được m và x ta thường dùng điều kiện 2.

2. Tìm m để đồ thị hàm số bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm

Tuỳ bài toán mà ta có thể sử dụng một trong các điều kiện trên để tìm m để hàm số cắt trục hoành Ox tại 3 điểm phân biệt.

* Ví dụ 1: Cho hàm số bậc ba: y = x³ – mx + m + 1

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

* Lời giải:

Ta xét phương trình hoành độ giao điểm:

x³ – mx + m + 1 = 0 (dễ dàng nhận thấy pt có nghiệm x₁ = 1)

⇔ (x – 1)(x² + x + m + 1) = 0

⇔ x = 1 hoặc x² + x + m + 1 = 0 (*)

Để hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì pt(*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1:

Vậy với –3 ≠ m < –3/4 thì hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

* Ví dụ 2: Cho hàm số bậc ba: y= f(x) = x³ – 3mx² + 3(m² – 1)x – m² + 1

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

* Lời giải:

Ta có: f'(x) = 3x² – 6mx + 3(m² – 1) = 0

⇔ x = m – 1 hoặc x = m + 1

(Chú ý: Hàm bậc 3 có a > 0 thì điểm x_CĐ < x_CT)

Suy ra: y_CD = (m – 1)³ – 3m(m – 1)² + 3(m² – 1)(m – 1) – m² + 1 = m³ – m² – 3m + 3

y_CT =  (m + 1)³ – 3m(m + 1)² + 3(m² – 1)(m + 1) – m² + 1 = m³ – m² – 3m – 1

Khi đó để hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì:

y_CT.y_CD < 0 ⇔ (m³ – m² – 3m + 3)(m³ – m² – 3m – 1) < 0

⇔ (m² – 1)(m² – 3)(m² – 2m – 1) < 0

 (*)

Vậy với m thoả (*) thì hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.