Giải bài 4 trang 72 Toán 8 Tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = BA.

a) Chứng minh rằng DABD = DEBD.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh rằng tứ giác ADEH là hình thang vuông.

c) Gọi I là giao điểm của AH với BD, đường thẳng EI cắt AB tại F. Chứng minh rằng tứ giác ACEF là hình thang vuông.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho tam giác ABC vuông tại A, BD là tia phân giác của góc B, E thuộc BC sao cho BE = BA. Bài toán có ba yêu cầu chứng minh:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau: \triangle ABD và \triangle EBD. Ta sẽ sử dụng trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c).

b) Chứng minh tứ giác ADEH là hình thang vuông: Ta cần chứng tỏ tứ giác có một cặp cạnh đối song song và có một góc vuông.

c) Chứng minh tứ giác ACEF là hình thang vuông: Tương tự, ta cần chứng minh tứ giác có một cặp cạnh đối song song và có một góc vuông.

Các bước giải sẽ dựa vào việc suy luận tuần tự từ các giả thiết của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

a) Xét ΔABD và ΔEBD có:

BA = BE (gt);

 (do BD là tia phân giác của );

BD là cạnh chung,

Do đó ΔABD = ΔEBD (c-g-c).

b) Do ΔABD = ΔEBD (câu a) nên

  (hai góc tương ứng).

Do đó DE ⊥ BC

Mà AH ⊥ BC (giả thiết) nên DE // AH.

Tứ giác ADEH có DE // AH nên là hình thang

Lại có  nên ADEH là hình thang vuông.

c) Do ΔABD = ΔEBD (câu a) nên AD = ED (hai cạnh tương ứng)

Do đó D nằm trên đường trung trực của AE.

Lại có BA = BE (giả thiết)

nên B nằm trên đường trung trực của AE.

⇒ BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE

nên BD ⊥ AE, hay BI ⊥ AE.

Xét ΔABE có AI ⊥ BE, BI ⊥ AE nên I là trực tâm của tam giác

Do đó EI ⊥ AB hay EF ⊥ AB.

Mà CA ⊥ AB (do ΔABC vuông tại A)

⇒ EF // CA.

Tứ giác ACEF có EF // CA nên là hình thang.

Lại có  nên ACEF là hình thang vuông.