Các dạng bài tập toán về Đường tròn và cách giải - toán lớp 9

Vì vậy, Bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại kiến thức về đường tròn và các dạng bài tập toán về đường tròn và hướng dẫn cách giải chi tiết để qua đó giúp các em dễ nhớ các tính chất về cung, dây cung, góc nội tiếp đường tròn, góc ở tâm đường tròn, vị trí tương đối của đường tròn,...

A. Lý thuyết Đường tròn

I. Sự xác định của đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn

1. Đường tròn

- Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng cách bằng R.

2. Vị trí tương đối của một điểm với một đường tròn

- Cho đường tròn tâm (O;R) và điểm M.

• M nằm trên đường tròn (O;R) ⇔ OM = R
• M nẳm trong đường tròn (O;R) ⇔ OM < R
• M nẳm ngoài đường tròn (O;R) ⇔ OM > R

3. Cách xác định đường tròn

- Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

4. Tính chất đối xứng của đường tròn

- Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của của đường tròn đó.

- Đường tròn là hình có trục đối xứng, trục bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

II. Dây của đường tròn

1. So sánh độ dài của đường kính và dây

- Trong các dây của đường tròn dây lớn nhất là đường kính

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với 1 dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của 1 dây thì vuông góc với dây ấy.

3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

+ Trong 1 đường tròn:

2 dây bằng nhau thì cách đều tâm

2 dây cách đều tâm thì bằng nhau

+ Trong 2 dây của 1 đường tròn

Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

Dây nào nhỏ hơn thì dây đó xa tâm hơn

III. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

1. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

- Cho đường tròn tâm (O;R) và đường thẳng Δ, đặt d = d(O,Δ) khi đó:

• Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt ⇔ d<R
• Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại 1 điểm ⇔ d=R
• Đường thẳng và đường tròn không giao nhau ⇔ d>R

- Khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm chung giữa đường thẳng và đường tròn gọi là tiếp điểm.

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

- Nếu 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

- Nếu 1 đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thắng ẩy là tiếp tuyến cùa đường tròn.

3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

- Nếu hai tiếp tuyến cùa một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

• Điếm đó cách đều hai tiếp điểm.
• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính (đi qua các tiếp điểm)

4. Đường tròn nội tiếp tam giác

• Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh cùa một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
• Tâm cùa đường tròn nội tiếp tam giác được gọi là giao điểm cùa các đường phân giác các góc trong tam giác.

5. Đường tròn bàng tiếp tam giác

• Đường tròn tiếp xúc với một cạnh cùa một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
• Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
• Tâm cùa đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm cùa hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm cùa đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).

IV. Vị trí tương đối của hai đường tròn

1. Tính chất đường nối tâm

- Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng cùa hình gồm cà hai đường tròn đó.

- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điếm đồi xứng với nhau qua đường nối tâm.

- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

2. Vị trí tương đối của hai đường tròn.

+ Cho 2 đường tròn (O; R) và (O'; r) đặt OO'=d

- Hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm ⇔ R-r<d<R+r

- Hai đường tròn tiếp xúc nhau (có 1 điểm chung):

Tiếp xúc trong ⇔ d = R - r

Tiếp xúc ngoài ⇔ d = R + r

- Hai đường trong không giao nhau

Ở ngoài nhau ⇔ d > R + r

O chứa O' ⇔ d < R - r

3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

- Tiếp tuyến chung cùa hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

- Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.

- Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.

V. Liên hệ giữa cung và dây

1. Định lí 1

+ Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

2. Định lí 2

+ Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

3. Bổ sung

+ Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điếm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điếm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điếm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

VI. Góc nội tiếp đường tròn

1. Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn ấy.

- Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

2. Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiép bằng nửa số đo của cung bị chắn.

3. Hệ quả

+ Trong một đường tròn:

  - Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

  - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

  - Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90° có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

  - Góc nội tiếp chắn nửa đường trònlà góc vuông.

VI. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

1. Định lí: Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

2. Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

3. Định lí (bổ sung)

- Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.

VIII. Góc ở đỉnh bên trong, và góc ở đỉnh bên ngoài đường tròn

Định lí 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng so đo hai cung bị chắn.

Định lí 2: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu so đo hai cung bị chắn.

IX. Cung chứa góc

1. Quỹ tích cung chứa góc

- Với đoạn thẳng AB và góc ∝ (0⁰ <∝ < 180°) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn góc AMB = ∝ là hai cung chứa góc ∝ dựng trên đoạn AB.

* Chú ý:

• Hai cung chứa góc ∝ nói trên là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB.
• Hai điếm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
• Đặc biệt: Quỹ tích các điếm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

2. Cách vẽ cung chứa góc ∝

• Vẽ đường trung trực d của đoạn thắng AB.
• Vẽ tia Ax tạo với AB một góc ∝
• Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.
• Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung AmB được vẽ như trên là một cung chứa góc ∝.

3. Cách giải bài toán quỹ tích

-  Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điếm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

• Phần thuận: Mọi điếm có tính chất T đều thuộc hình H.
• Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

Kết luận: Quỹ tích các điếm M có tính chất T là hình H.

X. Tứ giác nội tiếp

1. Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2. Định lí

- Trong một tứ giác nội tiêp, tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180^o

- Nếu một tứ giác có tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180^o thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn.

- Tứ giác có tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180^o thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

- Tứ giác ABCD có 2 đỉnh C và D sao cho  thì tứ giác ABCD nội tiếp được.

XI. Đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp

1. Định nghĩa

• Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
• Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

2. Định lí

- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

- Tâm của hai đường tròn này trùng nhau và được gọi là tâm của đa giác đều.

- Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc.

* Chú ý:

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.
• Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến 1 cạnh.
• Cho n_ giác (đa giác có n cạnh) đều cạnh a. Khi đó:
  • Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi)
  • Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng: 180^o(n-2)/n
  • Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng: 360^o/n
  • Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = a/(2sin(180^o/n)) ⇒ a = 2.R.sin(180^o/n)
  • Bán kính đường tròn nội tiếp r = a/(2tan(180^o/n)) ⇒ a = 2.r.tan(180^o/n)
  • Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp: R² - r² = a²/4
  • Diện tích đa giác đều: S = (1/2)nar

XII. Độ dài đường tròn, cung tròn

1. Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

- Độ dài C của một đường tròn bán kính R được tính theo công thức

 hoặc  (d=2R)

2. Công thức tính độ dài cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung n^o được tính theo công thức: 

XIII. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

1. Công thức tính diện tích hình tròn

- Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức: 

2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R cung n^o được tính theo công thức

 hay  (l là độ dài cung n^o của hình quạt tròn)

» xem thêm: Các dạng toán về tỉ số lượng giác tỉ số lượng giác của góc nhọn cực hay

B. Các dạng bài tập về đường tròn

• Dạng 1: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc 1 đường tròn

* Phương pháp: Chứng minh các điểm đã cho cách đều 1 điểm cho trước

Ví dụ: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao lần lượt là AD, BE, CF. Chứng minh rằng, bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

* Lời giải:

- Theo giả thiết:

 BE là đường cao ⇒ BE ⊥ AC ⇒  = 90⁰.

 CF là đường cao ⇒ CF ⊥ AB ⇒  = 90⁰.

⇒ E và F cùng nhìn BC dưới một góc 90⁰

⇒ E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

⇒ Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

• Dạng 2: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp

* Phương pháp:

- Tam giác thường: Vẽ hai đường trung trực, giao của 2 đường trung trực là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Tam giác vuông: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

- Tam giác cân: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy tam giác.

- Tam giác đều: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Ví dụ 1: Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.

* Lời giải:

- Theo định lý pitago ta tính chiều dài cạnh huyền, ta có:

- Vì tam giác vuông cân, nên tâm đường tròn là trung điểm của cạnh huyền và chiều dài bán kính là:

Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính của đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a.

* Lời giải:

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là trực tâm của tam giác ABC.

- Từ A hạ đường cao AH xuống BC, ta có:

- Công thức suy ra từ pitago:

⇒ Tâm đường tròng là trực tâm của tam giác và có bán kính: 

Bài tập 1: Cho hình thoi ABCD .Gọi O là giao điểm hai đường chéo ; M,N,R,S là hình chiếu của O lần lượt trên AB , BC, CD và DA . Chứng minh 4 điểm M,N,R,S thuộc một đường tròn .

* Lời giải: Chứng minh 4 tam giác vuông bằng nhau.                                                         

ΔMBO = ΔNBO = ΔRBO = ΔABO                                             

(vì cạnh huyền bằng nhau ,góc nhọn bằng nhau)

* Suy ra OM = ON = OR = OS

* Vậy M,N,R,S ∈ O

Bài tập 2: Cho Δ ABC cân tại A ; Nội tiếp Đường tròn (O) ; Đường cao AH cắt Đường tròn ở D .

1) Vì sao AD là đường kính của (O) ?

2) Tính số đo góc ACD ?

3) Cho BC = 24 cm ; AC = 20 cm ;Tính chiều cao AH và bán kính của (O)

* Lời giải:

1) Vì tâm O là giao điểm của 3 đường trung trực của  Δ ABC                                                                   

Mà Δ ABC cân ở A nên đường cao AH cũng chính là trung trực ⇒ O ∈ AH

⇒ AD là dây qua tâm ⇒ AD là đường kính

2) Nối DC; OC

Ta có CO là trung tuyến mà CO = AD/2 = R

⇒ Δ ACD vuông ở C nên  = 90⁰

3) Vì AH là trung trực ⇒  BH = HC = BC/2 =24/2 = 12

Xét Δ vuông AHC có :

Xét Δ vuông ACD có : AC² = AH .AD

⇒ AD = AC² / AH = 20² /16 = 25 cm ⇒ R = AD /2 = 25 /2 =12,5 cm

Bài tập 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn, vẽ điểm N đối xứng với A qua M; BN cắt đường tròn tại C, gọi E là giao điểm của AC và BM.

1) Chứng minh:NE ⊥ AB

2) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3) Kẻ CH ⊥ AB (H∈AB) . Giả sử  HB=R/2 , tính CB; AC theo R

Bài tập 4: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm C trên đường tròn sao cho AC = R.

1) Tính BC theo R và các góc của tam giác ABC.

2) Gọi M là trung điểm của AO, vẽ dây CD đi qua M. Chứng minh tứ giác ACOD là hình thoi.

3) Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn (O)

4) Hai đường thẳng EC và DO cắt nhau tại F. Chứng minh C là trung điểm của EF

Bài tập 5: Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC. với B ∈ (O) và C (O')

1) Tính góc BÂC

2) Vẽ đường kính BOD. Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng

3) Tính DA.DC

4) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính BC, và tính BC?

Bài tập 6: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy 1 điểm C sao cho AC>BC. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt nhau tại D , BD cắt (O) tại E .Vẽ dây cung EF//AD ,vẽ CH vuông góc với AB tại H

1) Chứng minh : AE=AF và BE=BF

2) ADCO là tứ giác nội tiếp

3) DC²=DE.DB

4) AF.CH=AC.EC

5) Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K . Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của (O)

6) Từ E kẻ đường thẳng song song v ới AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q . Chứng minh : 3 điểm D,Q,F thẳng hàng