Giải bài 24 trang 111 SGK Toán 9 tập 1

Bài 24 trang 111 SGK Toán 9 tập 1:

Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB = 24 cm. Tính độ dài OC.

Giải bài 24 trang 111 SGK Toán 9 tập 1:

Ta có hình minh họa như sau:

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.

Gọi H là giao điểm của OC và AB

Xét đường tròn (O) có

OH ⊥ AB tại H mà OH là 1 phần của đường kính và AB là dây của đường tròn

Do đó, H là trung điểm của AB (do đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Mà ta lại có: OC ⊥ AB tại H, do đó, OC là đường trung trực của AB

⇒ CB = CA (tính chất đường trung trực)

Xét ΔCBO và ΔCAO có:

CO chung

CA = CB (chứng minh trên)

OB = OA = R (do B, A nằm trên đường tròn (O))

⇒ ΔCBO = ΔCAO (c-c-c)

Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên có: AC ⊥ OA 

Tức là CB vuông góc với OB, mà OB là bán kính của đường tròn (O)

⇒ CB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B (đpcm)

b) Tính độ dài OC.

Ta có: OA = OB = R = 15cm

Theo câu a): 

• Xét ΔHOA vuông tại H (do OC ⊥ AB tại H)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

OA² = OH² + HA²

⇒ OH² = OA² - HA² = 15² - 12² = 81

⇒ OH =  = 9 (cm)

• Xét ΔBOC vuông tại B (do CB vuông góc với OB tại B – chứng minh câu a) có đường cao BH.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

OB² = OC.OH