Giải bài 1 trang 99 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Phân tích và hướng dẫn giải

Để chứng minh bốn điểm $A,B,C,D$ cùng thuộc một đường tròn, ta cần chỉ ra rằng bốn điểm này cùng cách đều một điểm nào đó.

• Trong một hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

• Dựa vào tính chất này, bạn có thể tìm được một điểm cách đều cả bốn đỉnh. Điểm đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật.

• Bán kính của đường tròn này sẽ bằng một nửa độ dài của đường chéo.

Để tính bán kính, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Sử dụng định lý Pythagore để tính độ dài đường chéo $AC$ của hình chữ nhật.

2. Tính bán kính của đường tròn bằng một nửa độ dài đường chéo vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD. Dựa vào tính chất của hình chữ nhật ta có:

OA = OB = OC = OD

Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng cách đều điểm O một khoảng bằng OA nên A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính R = OA

• Xét tam giác ABC vuông tại B có:

AB = 12cm

BC = 5cm

• Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

AC² = AB² + BC²

⇒ AC² = 12² + 5² = 169

Ta lại có:  (tính chất của đường chéo hình chữ nhật)

Vì vậy, đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D có tâm O và bán kính R = 6,5cm.