Cách giải phương trình vô tỉ lớp 9 chuyên đề bài tập

Cách giải phương trình vô tỉ lớp 9 như nào? bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các phương pháp giải bài tập phương trình vô tỉ một cách chi tiết nhất, dễ hiểu nhất.

I. Để giải phương trình vô tỉ lớp 9 cần nhớ một số kiến thức.

Dưới đây là một số công thức, biểu thức căn thức cần nhớ.

• Phương trình 

• Phương trình 

• Phương trình 

• Phương trình 

• Phương trình 

• Phương trình 

• Phương trình  

• Phương trình  

• Phương trình  

II. Cách giải phương trình vô tỉ lớp 9 qua ví dụ minh họa

Để giải phương trình vô tỉ chúng ta sử dụng một số cách sau:

• Cách 1: Nâng lên cùng một lũy thừa ở cả hai vế.

• Cách 2: Đặt ẩn phụ.

• Cách 3: Sử dụng biểu thức liên hợp, đánh giá.

• Cách 4: Một số phương trình đặc biệt có cách giải riêng biệt khác.

1. Giải phương trình vô tỉ bằng cách nâng lên lũy thừa cả 2 vế

1.1 Giải phương trình vô tỉ dạng:  với e ≥ 0 là hằng số

i) Trường hợp:   hoặc  thì:

+ Bước 1: Tìm điều kiện của x để f(x) ≥ 0

+ Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện

* Ví dụ 1: Giải các phương trình vô tỉ sau:

a)

b) 

c) 

d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

 

- Ta thấy x = 4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

 

- Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 5/4.

c)  (*)

- Điều kiện: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1;

khi đó ta có (ở bày này ta có thể rút gọn hệ số trước khi bình phương 2 vế):

 

  

- Ta thấy x = 50 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 50.

d) (*)

- Vì (1 - x)² ≥ 0 ∀x nên pt xác định với mọi giá trị của x.

 

→ Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a)      b) 

° Lời giải:

a)   (*)

- Điều kiện: 

- Khi đó bình phương 2 vế ta được:

  

- Đối chiếu điều kiện (x < 1 hoặc x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 thỏa điều kiện, nên ta nhận nghiệm này. Kết luận pt có nghiệm x = 1/2.

b)  (*)

- Điều kiện:

- Khi đó bình phương 2 vế ta được:

 

- Đối chiếu điều kiện (x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 không thỏa điều kiện này, nên ta KHÔNG nhận nghiệm này. Kết luận pt vô nghiệm.

ii) Trường hợp:  (*) thì ta cần kiểm tra biểu thức f(x).

+) Nếu f(x) = ax² + bx + c = (Ax ± B)² tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

+) Nếu  không có dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

- Bước 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng cách phân tích thành nhân tử đưa về pt tích).

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x² – 8x + 8 = 2(x² – 4x + 4) = 2(x – 2)² nên ta có:

 

  

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x² – 4x + 6 = x² – 4x + 4 + 2 = (x – 2)² + 2 không có dạng (Ax ± B)² nên ta thực hiện như sau:

- Điều kiện: x² – 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x – 2)² + 2 ≥ 0 ∀x nên biểu thức xác định với mọi giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x – 2)² + 2 = 11 ⇔ (x – 2)² = 9 

- Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = –1 và x = 5.

1.2. Giải phương trình vô tỉ dạng: 

* Phương pháp giải:

- Bước 1: Viết điều kiện của phương trình: 

- Bước 2: Nhận dạng từng loại tương ứng với các cách giải sau:

 ¤ Loại 1: Nếu f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)² thì khai căn đưa về phương trình trị tuyệt đối để giải.

 ¤ Loại 2: Nếu f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ Loại 3: Nếu f(x) = Ax² + Bx + C [không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)²] và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ Loại 4: Nếu f(x) = Ax² + Bx + C và g(x) = Ex² + Dx + F thì thử phân tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích.

- Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện không sau đó kết luận nghiệm của phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình vô tỉ sau: 

° Lời giải:

- Ta có:  

 

 

- Vậy phương trình vô nghiệm

* Ví dụ 2: Giải phương trình vô tỉ sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

- Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≤ 3.

* Ví dụ 3: Giải phương trình vô tỉ sau: 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)² ⇔ 2x - 3 = x² - 2x + 1

 ⇔ x² - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)² = 0 ⇔ x = 2.

- Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 2 thỏa điều kiện nên phương trình nhận nghiệm này.

- Phương trình có nghiệm x = 2.

* Ví dụ 4: Giải phương trình vô tỉ sau: (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x² - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)² (và vế phải là dạng hàm bậc 1) nên để khử căn ta dùng phương pháp bình phương 2 vế.

- Điều kiện:  khi đó ta bình phương 2 vế được:

- Kiểm tra x = -10 có thỏa mãn điều kiện không bằng cách thay giá trị này vào các biểu thức điều kiện thấy không thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

1.3. Giải phương trình vô tỉ dạng:  

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Nếu f(x) và h(x) có chứa căn thì phải có điều kiện biểu thức trong căn ≥ 0.

- Bước 2: Khử căn thức đưa phương trình về dạng pt trị tuyệt đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- Bước 3: Xét dấu trị tuyệt đối (khử trị tuyệt đối) để giải phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình:  (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- Mặt khác, ta thấy:  và  nên ta có:

  (**)

- Ta xét các trường hợp để phá dấu trị tuyệt đối:

+) TH1: Nếu , ta có:

 

⇒ Phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu  , ta có:

 

- Đối chiếu điều kiện ta thấy x = 9 không thỏa đk nên loại.

+) TH3: Nếu 

+) TH4: Nếu , ta có:

 

→ Phương trình vô nghiệm.

⇒ Kết luận: Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.

* Ví dụ 2: Giải phương trình: 

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- Nhận thấy: 

  

- Đến đây xét các trường hợp giải tương tự ví dụ 1 ở trên.

2. Giải phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt  khi đó ta có pt (*) trở thành:

 

- Cả 2 nghiệm t đều thỏa điều kiện nên ta có:

 

 

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

 Đặt , khi đó pt(*) trở thành:

 

- Ta thấy pt(**) có dạng ở mục 2) loại 3; với điều kiện 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t² + 5 = (5 - t)² ⇔ t² + 5 = t² - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- Với t = 2 thỏa điều kiện 0≤ t ≤ 5 nên ta có:

  

→ Phương trình có nghiệm x = 6.

* Ví dụ 3: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x² - 2x - 3 ≥ 0. Khi đó ta có:

 Đặt  khi đó pt(**) trở thành:

 

- Đối chiếu điều kiện thì t = -5 loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x² - 2x - 3 = 4 ⇔ x² - 2x - 7 = 0 ⇔ (x² - 2x + 1) - 8 = 0.

 

- Kiểm tra thấy 2 nghiệm x trên thỏa điều kiện nên pt có 2 nghiệm. x = 1 ± 2√2.

3. Giải phương trình vô tỉ bằng cách sử dụng biểu thức liên hợp, đánh giá

- Áp dụng với phương trình chứa căn thức dạng:

  (với c,d>0 và c+d=e)

- PT có thể cho ngay dạng này hoặc có thể tách một hệ số nào đó để có [f(x)]²; [h(x)]² hay [g(x)]²;

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta nhận thấy:

 

 

 

- Do đó:  dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

  

→ Vậy phương trình có nghiệm x = –1.

* Ví dụ 2: Giải phương trình vô tỉ sau: 

* Lời giải:

Xét

 

Vậy phương trình vô nghiệm.

III. Bài tập về phương trình vô tỉ tự giải

* Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a)

b)

* Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

* Bài tập 3: Giải các phương trình sau

a)

b)

c)

d)