Bài 1.11 SGK Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài 1.11 - SGK Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức:

Chứng minh đẳng thức sau:

sin(a + b).sin(a – b) = sin²a – sin²b = cos²b – cos²a.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1.11 SGK Toán 11 Tập 1:

Ta có: sin(a + b).sin(a – b) = [cos(a + b – a + b) – cos(a + b + a – b)]

= [cos2b – cos2a] = [(2cos²b – 1) – (2cos² a – 1)] = cos²b – cos²a.

→ Vậy sin(a + b).sin(a – b) = cos²b – cos²a (1).

Lại có: cos2b – cos2a = (1 – 2sin²b) – (1 – 2sin²a) = 2(sin²a – sin²b)

Do đó, [cos2b – cos2a] = . 2(sin²a – sin²b) = sin²a – sin²b.

→  Vậy sin(a + b).sin(a – b) = sin²a – sin²b (2).

Từ (1) và (2), suy ra:

sin(a + b).sin(a – b) = sin²a – sin²b = cos²b – cos²a. (đpcm)