Công thức cách tính Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian Oxyz đầy đủ

I. Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong Oxyz

Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ một điểm $M(x_M; y_M; z_M)$ đến mặt phẳng $(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0$, ta sử dụng công thức:

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng bài tập về mặt phẳng trong không gian Oxyz cực hay

II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

Bài 1 (Bài 9 trang 81 SGK Hình học 12)

Tính khoảng cách từ điểm $A(2; 4; -3)$ lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) $(\alpha): 2x – y + 2z – 9 = 0$

b) $(\beta): 12x – 5z + 5 = 0$

c) $(\gamma): x = 0$

Lời giải:

a) Khoảng cách từ điểm $A$ tới mp $(\alpha)$ là:

$d(A;(\alpha)) = \frac{|2.2 - 4 + 2.(-3) - 9|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|-15|}{3} = 5$

b) Khoảng cách từ điểm $A$ tới mp $(\beta)$ là:

$d(A;(\beta)) = \frac{|12.2 - 5.(-3) + 5|}{\sqrt{12^2 + 0^2 + (-5)^2}} = \frac{44}{13}$

c) Khoảng cách từ điểm $A$ tới mp $(\gamma)$ là:

$d(A;(\gamma)) = \frac{|2|}{\sqrt{1^2}} = 2$

Bài 2: Khoảng cách từ nhiều điểm đến một mặt phẳng

Cho hai điểm $A(1;-1;2), B(3;4;1)$ và mặt phẳng $(P): x + 2y + 2z - 10 = 0$.

Lời giải:

• $d(A;(P)) = \frac{|1 + 2.(-1) + 2.2 - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|-7|}{3} = \frac{7}{3}$

• $d(B;(P)) = \frac{|3 + 2.4 + 2.1 - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{3}{3} = 1$

Bài 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P): x + 2y + 2z + 11 = 0$ và $(Q): x + 2y + 2z + 2 = 0$.

Lời giải:

Lấy điểm $M(0; 0; -1)$ thuộc mặt phẳng $(Q)$. Khoảng cách giữa $(P)$ và $(Q)$ chính là khoảng cách từ $M$ đến $(P)$:

$d((P);(Q)) = d(M;(P)) = \frac{|0 + 2.0 + 2.(-1) + 11|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{9}{3} = 3$

Bài 4: Tìm điểm trên trục tọa độ cách đều điểm và mặt phẳng

Tìm trên trục $Oz$ điểm $M$ cách đều điểm $A(2;3;4)$ và mặt phẳng $(P): 2x + 3y + z - 17 = 0$.

Lời giải:

Điểm $M \in Oz \Rightarrow M(0; 0; z)$.

• Khoảng cách $MA = \sqrt{(0-2)^2 + (0-3)^2 + (z-4)^2} = \sqrt{z^2 - 8z + 29}$

• Khoảng cách $d(M;(P)) = \frac{|2.0 + 3.0 + z - 17|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2}} = \frac{|z - 17|}{\sqrt{14}}$

  Theo đề bài $MA = d(M;(P))$, bình phương hai vế ta giải được $z = 3$.

  Vậy $M(0; 0; 3)$.

Bài 5: Bài toán tổng quát về mặt phẳng song song cách đều

Cho $(P_1): x + 2y + 2z + 3 = 0$ và $(P_2): 2x + 4y + 4z + 1 = 0$.

a) Tìm khoảng cách giữa $(P_1)$ và $(P_2)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ song song và cách đều $(P_1)$ và $(P_2)$.

Lời giải:

Đưa $(P_2)$ về dạng cùng hệ số với $(P_1)$: $(P_2): x + 2y + 2z + 0,5 = 0$.

a) Khoảng cách $d((P_1);(P_2)) = \frac{|3 - 0,5|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{2,5}{3} = \frac{5}{6}$.

b) Mặt phẳng song song cách đều sẽ có dạng $x + 2y + 2z + E = 0$ với $E = \frac{D + D'}{2} = \frac{3 + 0,5}{2} = 1,75$.

Phương trình $(P): x + 2y + 2z + 1,75 = 0$ hay $4x + 8y + 8z + 7 = 0$.

Bài 6: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng

Cho điểm $I(1;4;-6)$ và mặt phẳng $(\alpha): x - 2y + 2z + 4 = 0$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với $(\alpha)$.

Lời giải:

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên bán kính $R = d(I;(\alpha))$:

$R = \frac{|1 - 2.4 + 2.(-6) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|-15|}{3} = 5$

Phương trình mặt cầu: $(x - 1)^2 + (y - 4)^2 + (z + 6)^2 = 25$.

III. Mẹo ghi nhớ và lưu ý khi làm bài

1. Trị tuyệt đối: Luôn nhớ có dấu trị tuyệt đối ở tử số vì khoảng cách không bao giờ âm.

2. Độ dài vectơ pháp tuyến: Mẫu số luôn là căn bậc hai của tổng bình phương các hệ số $A, B, C$.

3. Mặt cầu tiếp xúc: Khi mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng, khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng đúng bằng bán kính $R$.

Hy vọng bài viết giúp các em nắm vững công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt kết quả cao tại hayhochoi.vn nhé!