Công thức cách tính Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian Oxyz - Toán lớp 12

11:45:1631/10/2020

Ở các lớp trước các em đã làm quen với khái niệm khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian. Ở chương trình toán 12 với không gian tọa độ, việc tính toán khoảng cách được cho là khá dễ với nhiều em, tuy nhiên đừng vì thế mà các em chủ quan nhé.

Bài viết dưới đây chúng ta cùng ôn lại cách tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz. Đồng thời qua đó giải các bài tập vận dụng để các em dễ dàng ghi nhớ công thức hơn.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng bài tập về mặt phẳng trong không gian Oxyz cực hay

I. Công thức cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong Oxyz

- Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm M(x_M, y_M,z_M) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0, ta dùng công thức:

$d(M;(\alpha ))=\frac{\left | Ax_M+By_M+Cz_M+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong Oxyz

II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz

* Bài 1 (Bài 9 (trang 81 SGK Hình học 12): Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) 2x – y + 2z – 9 = 0 (α)

b) 12x – 5z + 5 = 0 ( β)

c) x = 0 ( γ;)

* Lời giải:

a) Ta có: Khoảng cách từ điểm A tới mp (α) là:

$d(A;\left ( \alpha \right ))=\frac{\left | 2.2-4+2.(-3)-9 \right |}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{15}{3}=5$

b) Ta có: Khoảng cách từ điểm A tới mp (β) là:

$d(A;\left ( \beta \right ))=\frac{\left | 12.2-5.(-3)+5 \right |}{\sqrt{12^2+5^2}}=\frac{44}{13}$

c) Ta có: khoảng cách từ điểm A tới mp (γ) là:

$d(A;(\gamma ))=\frac{\left | 2 \right |}{\sqrt{1^2}}=2$

* Bài 2: Cho hai điểm A(1;-1;2), B(3;4;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + 2y + 2z - 10 = 0. Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (P).

* Lời giải:

- Ta có: $small dleft [ A,(P) ight ]=frac{left | x_{A} +2y_{A}+2z_{A}-10 ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}$ $small =frac{left | 1 -2+4-10 ight |}{3}=frac{7}{3}$

- Tương tự: $small dpi{100} fn_cm small dleft [ B,(P) ight ]=frac{left | x_{B} +2y_{B}+2z_{B}-10 ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}$ $small dpi{100} fn_cm small =frac{left | 3 +8+2-10 ight |}{3}=1$

* Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) cho bởi phương trình sau đây :

(P): x + 2y + 2z + 11 = 0.

(Q): x + 2y + 2z + 2 = 0.

* Lời giải:

- Ta lấy điểm M(0;0;-1) thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu d[(P),(Q)] là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có:

small dleft [ (P),(Q)
ight ]=dleft [ M,(Q)
ight ] $small =frac{left | x_{M} +2y_{M}+2z_{M}+11 ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}$ $small =frac{left | 0 +2.0+2(-1)+11 ight |}{3}=frac{9}{3}=3$

⇒ d[(P),(Q)] = 3.

* Bài 4: Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 17 = 0.

* Lời giải:

- Xét điểm M(0;0;z) ∈ Oz, ta có :

- Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng (P) là:

small overline{AM}=dleft [ M,(P)
ight ] $small Leftrightarrow sqrt{4+9+(z-4)^{2}}=frac{left | z-17 ight |}{sqrt{4+9+1}}$

$small Leftrightarrow 13+(z-4)^{2}=frac{(z-17)^{2}}{14}$

$small dpi{100} fn_cm small Leftrightarrow 14[13+(z-4)^{2}]=(z-17)^{2}$

$small Leftrightarrow 13z^{2}-78z+117=0$

$small Leftrightarrow z^{2}-6z+9=0$

small Leftrightarrow z=3

⇒ Vậy điểm M(0;0;3) là điểm cần tìm.

* Bài 5: Cho hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) lần lượt có phương trình là (P₁): Ax + By + Cz + D = 0 và (P₂): Ax + By + Cz + D' = 0 với D ≠ D'.

a) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P₁) và (P₂).

b) Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P₁) và (P₂).

* Áp dụng cho trường hợp cụ thể với (P₁): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (P₂): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.

* Lời giải:

a) Ta thấy rằng (P₁) và (P₂) song song với nhau, lấy điểm M(x₀; y₀; z₀) ∈ (P₁), ta có:

Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0 ⇒ (Ax₀ + By₀ + Cz₀) = -D (1)

- Khi đó, khoảng cách giữa (P₁) và (P₂) là khoảng cách từ M tới (P₂):

$small dpi{100} fn_cm small dleft [ (P_{1}),(P_{2}) ight ]=dleft [ M,(P_{2}) ight ]$ $small dpi{100} fn_cm small =frac{left | Ax_{0} +By_{0}+Cz_{0}+D' ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ $small =frac{left | D'-D ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ (theo (1))

b) Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng (P): Ax + By + Cz + E = 0. (2)

- Để (P) cách đều hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) thì khoảng cách từ M₁(x₁; y₁; z₁) ∈ (P₁) đến (P) bằng khoảng cách từ M₂(x₂; y₂; z₂) ∈ (P₂) đến (P) nên ta có:

$small small dleft [ M_{1},(P) ight ]=dleft [ M_{2},(P) ight ]$ $small Leftrightarrow frac{left | Ax_{1} +By_{1}+Cz_{1}+E ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}= frac{left | Ax_{2} +By_{2}+Cz_{2}+E ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ (3)

mà (Ax₁ + By₁ + Cz₁) = -D ; (Ax₂ + By₂ + Cz₂) = -D' nên ta có:

(3) $small small Leftrightarrow frac{left | E-D ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}= frac{left |E-D' ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

vì E≠D, nên: $small E=frac{1}{2}(D+D')$

⇒ Thế E vào (2) ta được phương trình mp(P): Ax + By + Cz + ½(D+D') = 0

* Áp dụng cho trường hợp cụ thể với (P₁): x + 2y + 2y + 3 = 0 và (P₂): 2x + 4y + 4z + 1 = 0.

a) Tính khoảng cách giữa (P₁) và (P₂):

- mp(P₂) được viết lại: x + 2y + 2z + ½ = 0

$small dpi{100} fn_cm small dleft [ (P_{1}),(P_{2}) ight ]=frac{left | D'-D ight |}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ $small dpi{100} fn_cm small =frac{left | 3-frac{1}{2} ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}=frac{frac{5}{2}}{3}=frac{5}{6}$

b) Ta có thể sử dụng 1 trong 3 cách sau:

- Cách 1: áp dụng kết quả tổng quát ở trên ta có ngay phương trình mp(P) là:

$small (P): x + 2y + 2z +frac{1}{2}left ( 3+frac{1}{2} ight )=0$ $small Leftrightarrow x + 2y + 2z +frac{7}{4}=0$

- Cách 2: (Sử dụng phương pháp qũy tích): Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm, điểm M(x; y; z) ∈ (P) khi:

$small dleft [ M,(P_{1}) ight ]=dleft [ M,(P_{2}) ight ]$ $small small Leftrightarrow frac{left | x +2y+2z+3 ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}= frac{left | x +2y+2z+frac{1}{2} ight |}{sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}$

$small Leftrightarrow left | x +2y+2z+3 ight |=left | x +2y+2z+frac{1}{2} ight |$

$small Leftrightarrow x + 2y + 2z +frac{7}{4}=0$

- Cách 3: (Sử dụng tính chất): Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng:

(P): x + 2y + 2z + D = 0.

+ Lấy các điểm small A(-3:0;0) ∈ (P₁) và $small dpi{100} fn_cm small Bleft (-frac{1}{2};0;0 ight )$ ∈ (P₂), suy ra đoạn thẳng AB có trung điểm là $small Mleft (- frac{7}{4};0;0 ight )$

+ Mặt phẳng (P) cách đều (P₁) và (P₂) thì (P) phải đi qua M nên ta có:

$small -frac{7}{4}+D=0Leftrightarrow D=frac{7}{4}$

$small Rightarrow (P): x + 2y + 2z +frac{7}{4}=0$

* Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;4;-6) và mặt phẳng (α): x - 2y + 2z + 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (α).

* Lời giải:

- Phương trình mặt cầu tâm I(x_i; y_i; z_i) bán kính R có dạng:

(x - x_i)² + (y - y_i)² + (z - z_i)² = R²

- Nên theo bài ra I(1;4;-6) pt mặt cầu (S) có dạng:

(x - 1)² + (y - 4)² + (z + 6)² = R²

- Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (α) nên khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới mặt phằng phải bằng R, nên có:

$\dpi{100} R=d\left ( I;(\alpha ) \right )=\frac{\left | 1-2.4 +2.(-6)+4\right |}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=\frac{15}{3}=5$

⇒ Phương trình mặt cầu tâm I(1;4;-6) bán kính R=5 là:

(x - 1)² + (y - 4)² + (z + 6)² = 25

Như vậy, từ việc tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian tọa độ, các em cũng sẽ dễ dàng tính được khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong Oxyz qua việc vận dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Các em có thể tham thêm bài viết các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong Oxyz để có thể nắm bắt một cách tổng quát nhất về các phương pháp giải toán mặt phẳng.

Hy vọng với bài viết về công thức cách tính Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian Oxyz của Hay Học Hỏi ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để $\small hayhochoi.vn$ ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Công thức cách tính Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian Oxyz - Toán lớp 12

Tags:

Đánh giá & nhận xét