Công thức cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong không gian Oxyz - Toán lớp 12

Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng ôn lại công thức và cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz, vận dụng vào việc giải các bài tập mình họa để các em dễ hiểu hơn.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz cực hay

Chúng ta cũng nhớ, trong không gian thì giữa 2 mặt phẳng sẽ có 3 vị trí tương đối, đó là: Hai mặt phẳng trùng nhau, hai mặt phẳng cắt nhau và hai mặt phẳng song song. Ở hai trường hợp đầu (trùng nhau, cắt nhau) thì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng bằng 0.

Như vậy việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng cơ bản là dạng tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

I. Công thức cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

- Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên mặt phẳng (P) đến mặt phẳng (Q) hoặc ngược lại. ký hiệu: d((P);(Q)).

- Như vậy, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D' = 0 (D ≠ D') ta dùng công thức sau:

II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

* Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α): x + 2y − 3z + 1 = 0 và (β): x + 2y − 3z − 4 = 0.

* Lời giải:

- Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, ta có:

* Bài 2: Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song (α): x + 2y + 3z - 5 = 0 và (β): 2x + 4y + 6z - 16 = 0

* Lời giải:

- Ta cần đưa các hệ số (trước x,y,z) của mp (β) về giống với mp (α).

- Ta có, mp (β): 2x + 4y + 6z - 16 = 0 ⇔ x + 2y + 3z - 8 = 0

- Như vậy, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là:

* Bài 3 (Bài 10 trang 81 SGK Hình học 12): giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.

a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

* Lời giải:

- Ta có hình minh họa như sau:

- Chọn hệ trục tọa độ như hình trên: Gốc O ≡ A;

⇒ Ta có tọa độ các đỉnh củ hình lập phương như sau:

 A(0; 0; 0) ; B(1; 0; 0); C(1; 1; 0); D(0; 1; 0).

 A'(0; 0; 1); B'(1; 0; 1); C'(1; 1; 1); D'(0; 1; 1).

a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song.

- Ta có:

⇒ Vectơ pháp tuyến của mp (AB'D') là: 

- Tương tự, có:

 ⇒ (AB'D') // (BC'D).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

- Mặt phẳng (BC'D) có VTPT  và qua B (1;0;0) nên có phương trình:

 1.(x - 1) + 1.(y – 0) - 1.( z - 0)= 0 ⇔ x + y - z - 1 = 0

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AB'D') và (BC'D) chính là khoảng cách từ A đến (BC'D) và bằng:

* Hoặc có thể viết phương trình mặt phẳng (AB'D') rồi tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng này như sau:

- Mặt phẳng (AB'D') có VTPT  và qua A(0;0;0) nên có phương trình:

 (-1).(x - 0) - 1.(y – 0) + 1.( z - 0)= 0 ⇔ x + y - z = 0

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AB'D') và (BC'D) là:

Trên đây chỉ là một số bài tập minh họa về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong Oxyz. Để có cái nhìn tổng quát các em cũng có thể tham khảo bài viết các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong không gian.