Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và bài tập minh họa

Chúng ta cần nhớ, trong không gian thì giữa hai mặt phẳng sẽ có 3 vị trí tương đối: Trùng nhau, Cắt nhau và Song song.

• Ở hai trường hợp đầu (trùng nhau, cắt nhau), khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng 0.

• Như vậy, việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng cơ bản là tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz cực hay

I. Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ là khoảng cách từ một điểm $M$ bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Ký hiệu: $d((P);(Q))$.

Để tính nhanh khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

• $(P): Ax + By + Cz + D = 0$

• $(Q): Ax + By + Cz + D' = 0$ ($D \neq D'$)

Ta sử dụng công thức sau:

II. Bài tập vận dụng có lời giải

Bài 1: Tính khoảng cách đơn giản

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α): x + 2y − 3z + 1 = 0 và (β): x + 2y − 3z − 4 = 0.

Lời giải:

Áp dụng trực tiếp công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, ta có:

Bài 2: Đưa về cùng hệ số pháp tuyến

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(\alpha): x + 2y + 3z - 5 = 0$ và $(\beta): 2x + 4y + 6z - 16 = 0$.

Lời giải:

Ta cần đưa các hệ số (trước $x, y, z$) của mặt phẳng $(\beta)$ về giống với mặt phẳng $(\alpha)$.

• Ta có $(\beta): 2x + 4y + 6z - 16 = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 8 = 0$.

• Khi này, $D = -5$ và $D' = -8$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:

  $$d((\alpha);(\beta)) = \frac{|-5 - (-8)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$$

Bài 3: Phương pháp tọa độ hóa

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $1$.

a) Chứng minh hai mặt phẳng $(AB'D')$ và $(BC'D)$ song song.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình trên: Gốc $O \equiv A$; các tia $Ox, Oy, Oz$ lần lượt chứa $AB, AD, AA'$.

Tọa độ các đỉnh:

$A(0; 0; 0); B(1; 0; 0); D(0; 1; 0); B'(1; 0; 1); D'(0; 1; 1); C'(1; 1; 1)$.

- Chọn hệ trục tọa độ như hình trên: Gốc O ≡ A;

$\overrightarrow{i}=\overrightarrow{AB};\: \overrightarrow{j}=\overrightarrow{AD};\: \overrightarrow{k}=\overrightarrow{AA'}$

⇒ Ta có tọa độ các đỉnh củ hình lập phương như sau:

 A(0; 0; 0) ; B(1; 0; 0); C(1; 1; 0); D(0; 1; 0).

 A'(0; 0; 1); B'(1; 0; 1); C'(1; 1; 1); D'(0; 1; 1).

a) Chứng minh $(AB'D') \parallel (BC'D)$:

• Mặt phẳng $(AB'D')$ có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{AB'} = (1; 0; 1)$ và $\vec{AD'} = (0; 1; 1)$.

  $\Rightarrow$ VTPT $\vec{n_1} = [\vec{AB'}; \vec{AD'}] = (-1; -1; 1)$.

• Mặt phẳng $(BC'D)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{BC'} = (0; 1; 1)$ và $\vec{BD} = (-1; 1; 0)$.

  $\Rightarrow$ VTPT $\vec{n_2} = [\vec{BC'}; \vec{BD}] = (-1; -1; 1)$.

  Vì $\vec{n_1} = \vec{n_2}$ và hai mặt phẳng không trùng nhau nên $(AB'D') \parallel (BC'D)$.

b) Tính khoảng cách:

• Phương trình mặt phẳng $(BC'D)$ qua $B(1; 0; 0)$ có VTPT $\vec{n_2} = (-1; -1; 1)$ là:

  $-1(x - 1) - 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow x + y - z - 1 = 0$.

• Khoảng cách từ $A(0; 0; 0)$ đến mặt phẳng $(BC'D)$ là:

  $$d(A;(BC'D)) = \frac{|0 + 0 - 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

III. Lưu ý quan trọng khi làm bài

Để đạt điểm tối đa trong các kỳ thi, các em cần lưu ý:

1. Kiểm tra vị trí tương đối: Trước khi tính, hãy kiểm tra xem hai mặt phẳng có thực sự song song không. Nếu cắt nhau, kết luận ngay khoảng cách bằng $0$.

2. Chuẩn hóa phương trình: Luôn đưa hệ số $A, B, C$ của hai phương trình về giống hệt nhau trước khi áp dụng công thức $|D - D'|$.

3. Đơn vị và dấu: Cẩn thận với các dấu âm trong trị tuyệt đối và dưới căn thức.

Việc tính toán khoảng cách trong Oxyz rất "dễ chịu" nếu các em nắm chắc công thức. Chúc các em vận dụng thành công và đạt kết quả cao!