Bài 7.24 SGK Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.24 SGK Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thủy thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thủy thuộc đường hybebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Giải bài 7.24 SGK Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A, B nằm trên trục Ox, tia Ox trùng với tia OB, O là trung điểm của AB. 

Ta có: AB = 300 nên AO = OB = AB : 2 = 300 : 2 = 150. 

Khi đó ta xác định được tọa độ hai điểm A, B là: A(– 150; 0) và B(150; 0). 

Gọi vị trí tàu thủy là điểm M nằm trên hypebol có 2 tiêu điểm là A và B.

Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s nên ta có: 

|MA – MB| = 0,0005 . 292 000 = 146 (km).

Gọi phương trình chính tắc của hypebol cần lập có dạng:

 với a, b > 0. 

Vì |MA – MB| = 146 = 2a ⇔ a = 73 (thỏa mãn).

⇒ a² = 73² = 5329. 

Vì hypebol có hai tiêu điểm là: A(– 150; 0) và B(150; 0) nên c = 150. 

Ta có: 

⇒ 73³ + b² = 150² 

⇔ b² = 17171

 (do b > 0). 

Vậy tàu thủy thuộc đường hypebol có hai tiêu điểm là A(– 150; 0), B (150; 0), có tiêu cự 2c = 2 . 150 = 200 và có phương trình chính tắc là: