Hotline 0939 629 809

Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn? Toán lớp 12 - Hỏi đáp

19:16:0102/12/2023

Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn là một bài toán về cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương lớp 12.

Nếu các em chưa biết cách Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn như nào? hay cách tìm m để hàm bậc 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn? thì nội dung bài viết này chính là dành cho các em.

1. Điều kiện để hàm bậc 4 (trùng phương) có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn

Xét hàm số bậc 4 (trùng phương) có dạng: y = ax⁴ + bx² + c với (a ≠ 0)

Khi đó ta có y’ = 4ax³ + 2bx

Xét y’ = 0 ⇔ 2x(2ax² + b) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² = –b/2a (*)

Khi đó để hàm số y = ax⁴ + bx² + c có 3 điểm cực trị

⇔ phương trình (*) sẽ có 2 nghiệm phân biệt và khác 0 ⇔ ab < 0.

Vì 3 cực trị của hàm bậc 4 trùng phương luôn tạo thành tam giác cân.

Để 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn thì góc ở đỉnh cũng là góc nhọn:

$\small cos\alpha =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}.|.|\overrightarrow{AC}|}>0$ mà $\small |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|>0\Rightarrow \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}>0$

2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn

* Ví dụ: Cho hàm số bậc 4 (hàm trùng phương): y = f(x) = x⁴ – 2mx² + m² + m

Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn.

* Lời giải:

Ta có: f'(x) = 4x³ – 4mx

f'(x) = 0 ⇔ 4x³ – 4mx = 0⇔ 4x(x² – m) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² – m = 0 (*)

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi pt(*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m > 0

x = 0 ⇒ A (0; m² + m)

$\small x=-\sqrt{m}$ $\small \Rightarrow y=(-\sqrt{m})^4-2m(-\sqrt{m})^2+m^2+m=m$ $\small \Rightarrow B(-\sqrt{m};m)$

$\small x=\sqrt{m}$ $\small \Rightarrow y=(\sqrt{m})^4-2m(\sqrt{m})^2+m^2+m=m$ $\small \Rightarrow C(\sqrt{m};m)$

$\small \overrightarrow{AB}=(-\sqrt{m};-m^2),\: \overrightarrow{AC}=(\sqrt{m};-m^2)$

$\small \Rightarrow cos\widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left | \overrightarrow{AB} \right |.\left | \overrightarrow{AC} \right |}>0$

$\small \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}>0$

$\small \Leftrightarrow \left ( -\sqrt{m} \right ).\sqrt{m} +(-m^2).(-m^2)>0$

$\small \Leftrightarrow m^4-m>0$

$\small \Leftrightarrow m(m^3-1)>0$

$\small \Leftrightarrow m^3-1>0$

$\small \Leftrightarrow (m-1)(m^2+m+1)>0$

$\small \Leftrightarrow m>1$ (thỏa)

Vậy với m > 1 thì hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn

Hy vọng với bài viết về Cách tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn như nào? hay cách tìm m để hàm bậc 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.