Tìm m để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân? Hỏi đáp Toán 12

Nếu các em chưa biết cách Tìm m để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân như nào? hay cách tìm m để hàm bậc 4 có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân? thì nội dung bài viết này chính là dành cho các em.

1. Điều kiện để hàm bậc 4 (trùng phương) có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân

Xét hàm số bậc 4 (trùng phương) có dạng: y = ax⁴ + bx² + c với (a ≠ 0)

Khi đó ta có y’ = 4ax³ + 2bx

Xét y’ = 0 ⇔ 2x(2ax² + b) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² = –b/2a  (*)

Khi đó để hàm số y = ax⁴ + bx² + c có 3 điểm cực trị

⇔ phương trình (*) sẽ có 2 nghiệm phân biệt và khác 0 ⇔ ab < 0.

3 điểm cực trị của hàm bậc 4 trùng phương luôn tạo thành tam giác cân (giả sử cân tại B).

Để 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân (ABC cân tại và vuông tại B) thì: 

2. Tìm m để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân

* Ví dụ: Cho hàm số bậc 4 (hàm trùng phương): y = f(x) = x⁴ – 8m²x² + 3

Tìm m để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân (tìm m để hàm bậc 4 có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân).

° Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: f'(x) = 4x(x² – 4m²)

- Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình f'(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt 

⇔ –8m² < 0 ⇔  m ≠ 0.

Vậy f'(x) = 0 có 3 nghiệm là x₁ = 0; x₂ = 2m; x₃ = –2m.

Khi đó:

Với x = 0 ⇒ y = 0⁴ – 8m².0² + 3 = 3

Với x = 2m ⇒ y = (2m)⁴ – 8m².(2m)² + 3 = –16m²+3

Với x = –2m ⇒ y = (–2m)⁴ – 8m².(–2m)² + 3 = –16m²+3

- Khi đó, các điểm cực trị là A(2m; –16m² + 3); B(0; 3); C(–2m; –16m² + 3)

 Nên BC = BA, tam giác ABC cân tại B. Để tam giác ABC vuông cân thì:

Vậy với m = ±1/8 thì hàm số trên có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.