Tìm m để 3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ? Hỏi đáp Toán 12

09:26:2402/12/2023

Tìm m để 3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ là câu hỏi ngắn gọn của Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120⁰

Nếu các em chưa biết cách Tìm m để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều như nào? hay cách tìm m để hàm bậc 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác đều? thì nội dung bài viết này chính là dành cho các em.

1. Điều kiện để hàm bậc 4 (trùng phương) có 3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ

Xét hàm số bậc 4 (trùng phương) có dạng: y = ax⁴ + bx² + c với (a ≠ 0)

Khi đó ta có y’ = 4ax³ + 2bx

Xét y’ = 0 ⇔ 2x(2ax² + b) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² = –b/2a (*)

Khi đó để hàm số y = ax⁴ + bx² + c có 3 điểm cực trị

⇔ phương trình (*) sẽ có 2 nghiệm phân biệt và khác 0 ⇔ ab < 0.

Vì 3 cực trị của hàm bậc 4 trùng phương luôn tạo thành tam giác cân.

Nên để 3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ thì góc ở đỉnh bằng 120⁰ .

$\small \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}.|.|\overrightarrow{AC}|}=cos120^0$

2. Tìm m để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ

* Ví dụ: Cho hàm số bậc 4 (hàm trùng phương): y = f(x) = 3x⁴ + 2(m – 2018)x² + 2017

Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ (tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng 120⁰).

* Lời giải:

Ta có: y = f(x) = 3x⁴ + 2(m – 2018)x² + 2017

Nên có: f'(x) = 12x³ + 4(m – 2018)x

Xét f'(x) = 0 ⇔ 12x³ + 4(m – 2018)x = 0

⇔ 4x (x² + m – 2018) = 0

⇔ x = 0 hoặc 3x² = 2018 – m (*)

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì pt(*): 3x² = 2018 – m phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0

⇔ 2018 – m > 0 ⇔ m < 2018

Khi đó toạ độ các điểm cực trị của hàm số là:

$\small A\: (0;2017)$ ; $\small B\left ( -\sqrt{\frac{2018-m}{3}};-\frac{(m-2018)^2}{3}+2017 \right )$ ; $\small C\: \left ( \sqrt{\frac{2018-m}{3}};-\frac{(m-2018)^2}{3}+2017 \right )$ .

Vì tam giác ABC cân tại A (nên chỉ góc A có thể bằng 120 độ) nên ta có:

3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ

$\small \overrightarrow{AB}=\left ( -\sqrt{\frac{2018-m}{3}};-\frac{(m-2018)^2}{3} \right )$

$\small \overrightarrow{AC}= \left ( \sqrt{\frac{2018-m}{3}};-\frac{(m-2018)^2}{3} \right )$

$\small \widehat{BAC}=120^0$

Theo yêu cầu bài toán, ta có: $\small \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left |\overrightarrow{AB} \right |.\left |\overrightarrow{AC} \right |}=cos120^0$

$\small \Leftrightarrow \frac{-\frac{2018-m}{3}+\left [ \frac{(m-2018)^2}{3} \right ]^2}{\sqrt{\frac{2018-m}{3}+\left [\frac{(m-2018)^2}{3} \right ]^2}.\sqrt{\frac{2018-m}{3}+\left [\frac{(m-2018)^2}{3} \right ]^2}}$ $\small =\frac{-\frac{2018-m}{3}+\left [\frac{(m-2018)^2}{3} \right ]^2}{\frac{2018-m}{3}+\left [\frac{(m-2018)^2}{3} \right ]^2}=-\frac{1}{2}$

$\small \Leftrightarrow \frac{2018-m}{3}+\left [\frac{(m-2018)^2}{3} \right ]^2=-2\left ( -\frac{2018-m}{3}+\left [\frac{(m-2018)^2}{3} \right ]^2 \right )$

$\small \Leftrightarrow 3\left [\frac{(m-2018)^2}{3} \right ]^2=\frac{2018-m}{3}$

$\small \Leftrightarrow \frac{3(m-2018)^4}{9}=\frac{2018-m}{3}$

$\small \Leftrightarrow (m-2018)^4=2018-m$

$\small \Leftrightarrow (2018-m)^4=2018-m$

$\small \Leftrightarrow (2018-m)^3=1$ (vì m < 2018)

⇔ m = 2017 (thoả)

Vây với m = 2017 thì hàm số đã cho có 3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ

* Ví dụ 2: Cho hàm số bậc 4: y = x⁴ – 2mx² + m² + m. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc 120^o.

* Lời giải:

Giải tương tự như trên ta được kết quả $\small m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Hy vọng với bài viết về Cách Tìm m để 3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ? hay cách tìm m để hàm bậc 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.