Tìm m để 3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ? Hỏi đáp Toán 12

Nếu các em chưa biết cách Tìm m để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều như nào? hay cách tìm m để hàm bậc 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác đều? thì nội dung bài viết này chính là dành cho các em.

1. Điều kiện để hàm bậc 4 (trùng phương) có 3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ

Xét hàm số bậc 4 (trùng phương) có dạng: y = ax⁴ + bx² + c với (a ≠ 0)

Khi đó ta có y’ = 4ax³ + 2bx

Xét y’ = 0 ⇔ 2x(2ax² + b) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² = –b/2a  (*)

Khi đó để hàm số y = ax⁴ + bx² + c có 3 điểm cực trị

⇔ phương trình (*) sẽ có 2 nghiệm phân biệt và khác 0 ⇔ ab < 0.

Vì 3 cực trị của hàm bậc 4 trùng phương luôn tạo thành tam giác cân.

Nên để 3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ thì góc ở đỉnh bằng 120⁰ .

2. Tìm m để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ

* Ví dụ: Cho hàm số bậc 4 (hàm trùng phương): y = f(x) = 3x⁴ + 2(m – 2018)x² + 2017

Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ (tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng 120⁰).

* Lời giải:

Ta có:  y = f(x) = 3x⁴ + 2(m – 2018)x² + 2017

Nên có: f'(x) = 12x³ + 4(m – 2018)x

Xét f'(x) = 0 ⇔ 12x³ + 4(m – 2018)x = 0

⇔ 4x (x² + m – 2018) = 0

⇔ x = 0 hoặc 3x² = 2018 – m (*)

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì pt(*): 3x² = 2018 – m phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 

⇔ 2018 – m > 0 ⇔ m < 2018

Khi đó toạ độ các điểm cực trị của hàm số là:

; ; .

Vì tam giác ABC cân tại A (nên chỉ góc A có thể bằng 120 độ) nên ta có:

Theo yêu cầu bài toán, ta có: 

 (vì m < 2018)

⇔ m = 2017 (thoả)

Vây với m = 2017 thì hàm số đã cho có 3 cực trị tạo thành tam giác có góc 120 độ

* Ví dụ 2: Cho hàm số bậc 4: y = x⁴ – 2mx² + m² + m. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc 120^o.

* Lời giải:

Giải tương tự như trên ta được kết quả